Kezdőlap


Feladat:	C.547	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hablicsek Márton
Füzet:	2000/február, 84 - 85. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Logikai feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/szeptember: C.547

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a legközelebbi találkozásig eltelt idő $x$ óra $y$ perc $z$ másodperc, ahol $x$ és $y$ pozitív egész, $z$ pedig nemnegatív, de nem feltétlenül egész. (Feltételezzük, hogy az óra mutatói folyamatosan haladnak.)
A másodpercmutató 1 perc alatt $360^{\circ}$ -ot, 1 másodperc alatt $\frac{360^{\circ}}{60} = 6^{\circ}$ -ot fordul el, így a találkozásig $6 z$ fokkal fordul el.
A nagymutató 1 perc alatt $\frac{360^{\circ}}{60} = 6^{\circ}$ , 1 másodperc alatt $\frac{6^{\circ}}{60} = \frac{1}{10}$ fokot fordul el. Így $y$ perc és $z$ másodperc alatt

\begin{matrix} 6 y + \frac{1}{10} z \end{matrix}

(1)

A kismutató 1 óra alatt

\frac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ}

-kal, 1 perc alatt

\frac{30^{\circ}}{60} = \frac{1}{2}

fokkal, 1 másodperc alatt

\frac{1}{120}

fokkal fordul el. Ezért

x

óra

y

perc és

z

másodperc alatt

\begin{matrix} 30 x + \frac{1}{2} y + \frac{1}{120} x \end{matrix}

(2)

fok az elfordulás szöge.
A feladat feltételei szerint az elfordulási szögek egyenlők:

\begin{matrix} \begin{matrix} 6 y + \frac{1}{10} z = 6 z, \\ ahonnan \\ 60 y = 59 z . \\ 30 x + \frac{1}{2} y + \frac{1}{120} z = 6 z . \end{matrix} \end{matrix}

Innen ‐ az előbb kapott

60 y = 59 z

-t behelyettesítve ‐

\begin{matrix} 11 y = 59 x . \end{matrix}

Mivel

x

és

y

egészek, 11 és 59 pedig relatív prímek, azért a legkisebb 0-tól különböző megoldás az

y = 59

x = 11

, s ekkor

z = 60

.
Tehát a legközelebbi találkozás 11 óra 59 perc 60 másodperc, azaz 12 óra múlva következik be, vagyis ha dél volt, akkor éjfélkor, ha éjfél volt, akkor délben.

Hablicsek Márton (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 8. o.t.)