Kezdőlap


Feladat:	C.531	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2000/február, 81 - 82. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlypont, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Háromszögek geometriája, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/február: C.531

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A B C$ háromszög csúcspontjainak koordinátáit $A (a_{1}; a_{2})$ , $B (b_{1}; b_{2})$ , $C (c_{1}; c_{2})$ -vel.
Tudjuk, hogy a háromszög súlypontjának $(s_{1}; s_{2})$ koordinátái kifejezhetők a csúcspontok koordinátáival:

\begin{matrix} s_{1} = \frac{a_{1} + b_{1} + c_{1}}{3}, s_{2} = \frac{a_{2} + b_{2} + c_{2}}{3} . \end{matrix}

a_{1} + b_{1} + c_{1}

, illetve

a_{2} + b_{2} + c_{2}

összeg lehetséges értékei:

- 3

- 2

- 1

, 0, 1, 2, 3, de

\pm 3

esetén nem jön létre valódi háromszög, így csak a többi esetet kell vizsgálnunk.
A súlypontnak az origótól való távolsága

d = \sqrt[]{s_{1}^{2} + s_{2}^{2}}

, ahol

3 s_{1}

és

3 s_{2}

értékei a

0

\pm 1

\pm 2

közül valók.
Ezek a következő koordinátapárokat adják:

S

(0; 0)

(0; \pm \frac{1}{3})

(0; \pm \frac{2}{3})

(\pm \frac{1}{3}; \pm \frac{1}{3})

(\pm \frac{1}{3}; \pm \frac{2}{3})

(\pm \frac{2}{3}; \pm \frac{2}{3})

az origótól való távolságuk pedig rendre:

0

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{\sqrt[]{2}}{3}

\frac{\sqrt[]{5}}{3}

\frac{2 \sqrt[]{2}}{3}

Könnyen láthatjuk, hogy mindegyik értékhez tartozik háromszög (nem is egy). Az ábrákon azok a háromszögek láthatók, ahol a súlypont egyik koordinátája sem negatív.
Ha tükrözzük ezeket a háromszögeket valamelyik koordinátatengelyre, azaz a csúcsok egyik koordinátájának előjelét megváltoztatjuk, az így kapott háromszög súlypontjának távolsága az origótól nem változik meg. Tehát a távolságokra valóban csak a felsorolt 6 érték adódhat.