Kezdőlap


Feladat:	F.3291	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ábrány Miklós , Barát Anna , Csóka Endre , Dénes Attila , Gáspár Merse Előd , Győri Nikolett , Harangi Viktor , Kunszenti-Kovács Dávid , Máthé András , Naszódi Gergely , Papp Dávid , Sido Péter , Siklósi Dávid , Szakács László , Székelyhidi Gábor , Terpai Tamás , Vitéz Ildikó
Füzet:	2000/január, 39 - 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rácsgeometria, Lineáris kongruenciák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/május: F.3291

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a feladatban szereplő rácssokszög az $A_{1} A_{2} ... A_{k}$ sokszög, az $A_{i}$ pont koordinátái legyenek $(x_{i}; y_{i})$ , legyen továbbá $a_{i} = x_{i + 1} - x_{i}$ és $b_{i} = y_{i + 1} - y_{i}$ ( $i = 1$ , 2, $...$ , $k$ , az indexeket moduló $k$ számolva). Jelöljük a rácssokszög oldalainak hosszát $\sqrt[]{h}$ -val.

Mivel a sokszög minden oldalának hossza

\sqrt[]{h}

, azért minden

i

-re

\begin{matrix} a_{i}^{2} + b_{i}^{2} = h . \end{matrix}

Egy négyzetszám 4-gyel osztva csak 0 vagy 1 maradékot adhat, ezért

h

a 4-gyel osztva 0, 1 vagy 2 maradékot ad. Vizsgáljuk meg külön-külön ezt a három esetet.
Ha

h \equiv 0 (mod 4)

, akkor

a_{i}

is és

b_{i}

is páros minden

i

-re. Ekkor a sokszöget a felére kicsinyíthetjük úgy, hogy a kicsinyített sokszög is egyenlő oldalú rácssokszög legyen. Mindaddig folytassuk a kicsinyítést, amíg az újonnan keletkezett sokszög

a_{i}

és

b_{i}

típusú számai közt legalább egy páratlan nem lesz. Ezt véges sok lépés után biztosan elérjük. A kicsinyítések során a sokszög oldalszáma nem változik, így ezt az esetet visszavezettük a maradék két eset egyikére.
Ha

h \equiv 1 (mod 4)

, akkor minden

i

-re

a_{i}

és

b_{i}

egyike páros, a másik pedig páratlan, azaz

a_{i} + b_{i} \equiv 1 (mod 2) .

Az így kapott

k

darab kongruenciát összeadva:

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{k} a_{i} + \sum_{i = 1}^{k} b_{i} \equiv k \end{matrix}

De az

a_{i}

-k és

b_{i}

-k definíciója miatt

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} = \sum_{i = 1}^{k} b_{i} = 0

, hiszen a sokszög zárt, tehát

k \equiv 0 (mod 2)

. Ez viszont éppen a bizonyítandó állítás.
Ha

h \equiv 2 (mod 4)

, akkor

a_{i}

is és

b_{i}

is páratlan minden

i

-re. Vagyis

a_{i} \equiv 1 (mod 2)

minden

i

-re, tehát

\begin{matrix} 0 = \sum_{i = 1}^{k} a_{i} \equiv k \end{matrix}

A sokszög oldalszáma tehát ebben az esetben is páros.
Több eset nincs, ezért a feladat állítását igazoltuk.

Székelyhidi Gábor (Kuwait, New English School, 12. o.t.) dolgozata alapján