Kezdőlap


Feladat:	F.3286	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ábrány Miklós , Baharev Ali , Boros M. Mátyás , Dombi József Dániel , Gerencsér Balázs , Győri Nikolett , Györey Bernadett , Harangi Viktor , Keszegh Balázs , Kiss Gergely , Kiss Norbert , Kunszenti-Kovács Dávid , Lábó Eszter , Lábó Melinda , Máthé András , Micskei Zoltán , Móczó Péter , Nagy Tamás , Naszódi Gergely , Papp Dávid , Pataki Péter , Pilászy István , Pszota Anikó , Szabadka Zoltán , Szakács László , Székelyhidi Gábor , Szilasi Zoltán , Ta Vinh Thong , Terpai Tamás , Urr Beáta , Vaik István , Venter György , Vitéz Ildikó
Füzet:	2000/január, 34 - 35. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok és tulajdonságaik, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/május: F.3286

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Műveletről eleve csak akkor beszélhetünk, ha minden $x$ , $y > 0$ -ra $x * y > 0$ is teljesül, azaz

\begin{matrix} \begin{matrix} x + y + t \sqrt[]{x y} & > 0, \\ t & > - (\sqrt[]{\frac{x}{y}} + \sqrt[]{\frac{y}{x}}) . \end{matrix} \end{matrix}

Ez pontosan akkor teljesül minden

x

y

pozitív számpárra, ha

t > - 2

.
A kívánt

(x * y) * z = x * (y * z)

azonosság nyilván fennáll, ha

t = 0

. Ha

t \neq 0

, akkor pedig ekvivalens a

\begin{matrix} \sqrt[]{x y} + \sqrt[]{x z + y z + t \sqrt[]{x y} z} = \sqrt[]{y z} + \sqrt[]{x y + x z + t \sqrt[]{y z} x} \end{matrix}

azonossággal. Az

x = 4

y = z = 1

értékekkel tesztelve:

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 + \sqrt[]{5 + 2 t} & = 1 + \sqrt[]{8 + 4 t}, \\ 1 + \sqrt[]{5 + 2 t} & = \sqrt[]{8 + 4 t} . \\ 6 + 2 t + 2 \sqrt[]{5 + 2 t} & = 8 + 4 t, \\ \sqrt[]{5 + 2 t} & = 1 + t, \\ 5 + 2 t & = 1 + 2 t + t^{2}, \\ 4 & = t^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Tehát

t = 0

mellett csak

t = 2

jön szóba. Az utóbbi esetben

x * y = x + y + 2 \sqrt[]{x y} = {(\sqrt[]{x} + \sqrt[]{y})}^{2}

, így valóban

(x * y) * z = {(\sqrt[]{x} + \sqrt[]{y} + \sqrt[]{z})}^{2} = x * (y * z)

. A feladat követelményeit csak a

t = 0

és 2 értékek elégítik ki.

Papp Dávid (Budapest, Szent István Gimn., 11. o.t.)