|
Feladat: |
F.3285 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Baharev Ali , Barát Anna , Dancsó Zsuzsanna , Gueth Krisztián , Harangi Viktor , Horváth Gábor , Keszegh Balázs , Kiss Gergely , Koch Dénes , Kovács Benedek , Kunszenti-Kovács Dávid , Máthé András , Naszódi Gergely , Szabadka Zoltán , Székelyhidi Gábor , Terpai Tamás |
Füzet: |
2000/január,
33 - 34. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Gömb és részei, Egyenes körkúpok, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1999/április: F.3285 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen egy olyan -t tartalmazó gömb, amit egy csúcsú egyenes körkúp az körvonalban érint (1. ábra). Mivel egy körben érinti -t, azért -nek -val jelölt középpontja rajta van tengelyén, ami nyilván tartalmazza -nek -fel jelölt középpontját is. Messük el a rendszert a tengelyét tartalmazó, síkjára merőleges síkkal. Eredeti feladatunk egy ebben a metszősíkban lévő síkbeli feladattá egyszerűsödik. Jelölje az síknak a -val, illetve -mel való metszéspontjait , , illetve és (3. ábra). Ekkor feladatunk a következő:
3. ábra Adott a szakasz és az egyenesén a szakaszon kívül egy pont. Mi lesz a -en és -n átmenő körökhöz -ből húzott érintők és érintési pontjait összekötő szakaszok felezőpontjainak halmaza? Ismert, hogy . Mivel és rögzített pontok, ezért ez azt jelenti, hogy az és érintési pontok egy középpontú, sugarú körre illeszkednek. Az pont felezi az szakaszt, ezért az derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága. Így a befogótétel szerint , tehát éppen az pont körre vonatkozó inverze. Ha az összes -en és -n átmenő kört tekintjük, akkor befuthatja a szakasz teljes felező merőlegesét, -re vonatkozó inverzei pedig egy -re szimmetrikus, -n átmenő körvonal -től különböző pontjait futják be. Az első bekezdésben leírtak szerint az eredeti térbeli feladat feltételeinek is ugyanez a ponthalmaz, azaz egy síkjára merőleges síkban lévő, -nak -n átmenő átmérőjére szimmetrikus, -n átmenő körvonal -től különböző pontjai tesznek eleget.
Gueth Krisztián (Szombathely, Kanizsai D. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján |
|
|