Feladat:	F.3285	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baharev Ali ,  Barát Anna ,  Dancsó Zsuzsanna ,  Gueth Krisztián ,  Harangi Viktor ,  Horváth Gábor ,  Keszegh Balázs ,  Kiss Gergely ,  Koch Dénes ,  Kovács Benedek ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Máthé András ,  Naszódi Gergely ,  Szabadka Zoltán ,  Székelyhidi Gábor ,  Terpai Tamás
Füzet:	2000/január, 33 - 34. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Gömb és részei, Egyenes körkúpok, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/április: F.3285

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. ábra   2. ábra   Legyen $g$ egy olyan $k$-t tartalmazó gömb, amit egy $P$ csúcsú $c$ egyenes körkúp az $m$ körvonalban érint (1. ábra). Mivel $c$ egy körben érinti $g$-t, azért $g$-nek $O$-val jelölt középpontja rajta van $c$ tengelyén, ami nyilván tartalmazza $m$-nek $F$-fel jelölt középpontját is. Messük el a rendszert a $c$ tengelyét tartalmazó, $k$ síkjára merőleges $S$ síkkal. Eredeti feladatunk egy ebben a metszősíkban lévő síkbeli feladattá egyszerűsödik. Jelölje az $S$ síknak a $k$-val, illetve $m$-mel való metszéspontjait $K_1$, $K_2$, illetve $M_1$ és $M_2$ (3. ábra). Ekkor feladatunk a következő:   3. ábra   Adott a $K_1{K}_2$ szakasz és az egyenesén a szakaszon kívül egy $P$ pont. Mi lesz a $K_1$-en és $K_2$-n átmenő körökhöz $P$-ből húzott érintők $M_1$ és $M_2$ érintési pontjait összekötő szakaszok $F$ felezőpontjainak halmaza? Ismert, hogy $P{M}_1^2=P{M}_2^2=P{K}_1\cdot P{K}_2$. Mivel $K_1$ és $K_2$ rögzített pontok, ezért ez azt jelenti, hogy az $M_1$ és $M_2$ érintési pontok egy $P$ középpontú, $\sqrt[]{P{K}_1\cdot P{K}_2}$ sugarú $l$ körre illeszkednek. Az $F$ pont felezi az $M_1{M}_2$ szakaszt, ezért $M_{2}F$ az $OP{M}_2$ derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága. Így a befogótétel szerint $PO\cdot PF=P{M}_2^2$, tehát $F$ éppen az $O$ pont $l$ körre vonatkozó inverze. Ha az összes $K_1$-en és $K_2$-n átmenő kört tekintjük, akkor $O$ befuthatja a $K_1{K}_2$ szakasz teljes felező merőlegesét, $l$-re vonatkozó inverzei pedig egy $K_1{K}_2$-re szimmetrikus, $P$-n átmenő körvonal $P$-től különböző pontjait futják be. Az első bekezdésben leírtak szerint az eredeti térbeli feladat feltételeinek is ugyanez a ponthalmaz, azaz egy $k$ síkjára merőleges síkban lévő, $k$-nak $P$-n átmenő átmérőjére szimmetrikus, $P$-n átmenő körvonal $P$-től különböző pontjai tesznek eleget.  Gueth Krisztián (Szombathely, Kanizsai D. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján