Kezdőlap


Feladat:	F.3284	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baharev Ali
Füzet:	2000/január, 32 - 33. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Szinusztétel alkalmazása, Trigonometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/április: F.3284

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A B C$ háromszög területét $T$ -vel, oldalait $a$ , $b$ , $c$ -vel, és legyen $A P = x$ , $B P = y$ , valamint $C P = z$ . Mivel $P$ az $A B C$ háromszög belső pontja, a $P A B$ , $P B C$ és a $P C A$ háromszögek területének összege megegyezik az $A B C$ háromszög területével, azaz

\begin{matrix} T = \frac{x c sin φ}{2} + \frac{y a sin φ}{2} + \frac{z b sin φ}{2} . \end{matrix}

Ez az egyenlőség a

2 T = b c sin α = c a sin β = a b sin γ

egyenlőségeket felhasználva

\begin{matrix} \frac{1}{sin φ} = \frac{x c}{b c sin α} + \frac{y a}{c a sin β} + \frac{z b}{a b sin γ} \end{matrix}

(1)

formában is írható.

Mivel

C A P ∢ = C A B ∢ - P A B ∢ = α - φ

, azért

A P C ∢ = 180^{\circ} - α

. Tehát az

A P C

háromszögben a szinusztétel szerint

x : b = sin φ : sin (180^{\circ} - α)

, vagyis

\frac{x}{b} = \frac{sin φ}{sin α}

. Ugyanígy kapjuk az

A P B

és a

B P C

háromszögekből, hogy

\frac{y}{c} = \frac{sin φ}{sin β}

és

\frac{z}{a} = \frac{sin φ}{sin γ}

. Ezeket az (1) egyenlőségbe beírva, ott elvégezve a lehetséges egyszerűsítéseket, majd pedig

sin φ

-vel osztva éppen a bizonyítandó

\begin{matrix} \frac{1}{sin^{2} φ} = \frac{1}{sin^{2} α} + \frac{1}{sin^{2} β} + \frac{1}{sin^{2} γ} . \end{matrix}

összefüggést kapjuk.

Megjegyzés. A

P

pont az

A B C

háromszög (egyik) Brocard-féle pontja.

Baharev Ali (Vác, Boronkay Gy. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján