Kezdőlap


Feladat:	F.3283	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Gábor
Füzet:	2000/január, 31 - 32. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/április: F.3283

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adott szakaszokból csak akkor nem lehet sokszöget szerkeszteni, ha közülük a legnagyobb hossza legalább akkora, mint az összes többi hosszának összege.

Rendezzük a 2000 szakaszt hosszuk szerint növekvő sorrendbe, és jelöljük a hosszakat

1 \leq a_{1} \leq a_{2} \leq ... \leq a_{2000}

-rel. Teljes indukcióval megmutatjuk, hogy minden

n

természetes számra teljesül az

\begin{matrix} a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \geq 2^{n - 1} \end{matrix}

egyenlőtlenség, amiből

n = 2000

esetén következik feladatunk állítása. Az egyenlőtlenség

n = 1

és 2 esetén nyilván igaz. Tegyük fel, hogy

\begin{matrix} a_{1} + a_{2} + ... + a_{k} \geq 2^{k - 1} . \end{matrix}

Mivel az

a_{1}

a_{2}

...

a_{k}

a_{k + 1}

szakaszokból nem szerkeszthető sokszög, azért az első bekezdésben leírtak miatt

\begin{matrix} a_{k + 1} \geq a_{1} + a_{2} + ... + a_{k}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a_{1} + a_{2} + ... + a_{k} + a_{k + 1} \geq 2 \cdot (a_{1} + a_{2} + ... + a_{k}) \geq 2 \cdot 2^{k - 1} = 2^{k}, \end{matrix}

ami igazolja állításunkat.

Horváth Gábor (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján