|
Feladat: |
F.3276 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Andrássy Zoltán , Baharev Ali , Baranyai Gábor , Barát Anna , Dancsó Zsuzsanna , Fehér Lajos Károly , Gelencsér Gábor , Gueth Krisztián , Györey Bernadett , Harangi Viktor , Horváth Gábor , Kiss Norbert , Kunszenti-Kovács Dávid , Lábó Eszter , Lábó Melinda , Máthé András , Naszódi Gergely , Papp Dávid , Poronyi Gábor , Schlotter Ildikó , Szabadka Zoltán , Szakács László , Taraza Busra , Terpai Tamás , Torda Péter , Vitéz Ildikó , Zempléni Márton |
Füzet: |
2000/január,
26 - 27. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Rácsgeometria, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Pont körüli forgatás, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1999/március: F.3276 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mivel és szerepe a feladatban felcserélhető, azért feltehetjük, hogy az háromszög pozitív körüljárású. Legyen , , , és jelöljük -vel -nak a körüli -os elforgatottját (ábra). Ekkor is rácspont, mert ha a koordinátái , akkor a koordinátái , amik egész számok (mert is és is rácspont), s így koordinátái is egészek, mert egészek összegeként állnak elő.
Az háromszögben a koszinusztétel szerint | | Feltételünk szerint , ami a képletet felhasználva alakra hozható. Tehát | | (1) | Ám a háromszög-egyenlőtlenség miatt ‐ itt egyenlőség is lehet, ha az háromszög elfajuló ‐, vagyis . Így | | amiből kapjuk, hogy . Ezt az (1) egyenlőtlenségbe visszaírva adódik. Két rácspont távolsága azonban csak akkor lehet 1-nél kisebb, ha a pontok egybeesnek, tehát . Vagyis az -nak körüli -os elforgatottja , azaz , és valóban egy négyzet három csúcsa.
Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) |
|
|