Kezdőlap


Feladat:	F.3276	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Andrássy Zoltán , Baharev Ali , Baranyai Gábor , Barát Anna , Dancsó Zsuzsanna , Fehér Lajos Károly , Gelencsér Gábor , Gueth Krisztián , Györey Bernadett , Harangi Viktor , Horváth Gábor , Kiss Norbert , Kunszenti-Kovács Dávid , Lábó Eszter , Lábó Melinda , Máthé András , Naszódi Gergely , Papp Dávid , Poronyi Gábor , Schlotter Ildikó , Szabadka Zoltán , Szakács László , Taraza Busra , Terpai Tamás , Torda Péter , Vitéz Ildikó , Zempléni Márton
Füzet:	2000/január, 26 - 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rácsgeometria, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Pont körüli forgatás, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/március: F.3276

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $A$ és $C$ szerepe a feladatban felcserélhető, azért feltehetjük, hogy az $A B C$ háromszög pozitív körüljárású. Legyen $A B = c$ , $B C = a$ , $A B C ∢ = β$ , és jelöljük $A'$ -vel $A$ -nak a $B$ körüli $- 90^{\circ}$ -os elforgatottját (ábra). Ekkor $A'$ is rácspont, mert ha a $\vec{B A}$ koordinátái $(x, y)$ , akkor a $\vec{B A'}$ koordinátái $(y, - x)$ , amik egész számok (mert $A$ is és $B$ is rácspont), s így $A'$ koordinátái is egészek, mert egészek összegeként állnak elő.

A' B C

háromszögben a koszinusztétel szerint

\begin{matrix} A' C^{2} = B C^{2} + {B A'}^{2} - 2 B C \cdot B A' \cdot cos (90^{\circ} - A B C ∢) = a^{2} + c^{2} - 2 a c sin β . \end{matrix}

Feltételünk szerint

{(a + c)}^{2} < 8 T + 1

, ami a

T = \frac{1}{2} a c sin β

képletet felhasználva

\begin{matrix} - 2 a c sin β < \frac{1}{2} (1 - {(a + c)}^{2}) \end{matrix}

alakra hozható. Tehát

\begin{matrix} A' C^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c sin β < a^{2} + c^{2} + \frac{1}{2} (1 - {(a + c)}^{2}) = \frac{1}{2} (1 + {(a - c)}^{2}) . \end{matrix}

(1)

Ám a háromszög-egyenlőtlenség miatt

A' C \geq | B C - A' B | = | a - c |

‐ itt egyenlőség is lehet, ha az

A' B C

háromszög elfajuló ‐, vagyis

A' C^{2} \geq {(a - c)}^{2}

. Így

\begin{matrix} {(a - c)}^{2} \leq A' C^{2} < \frac{1}{2} (1 + {(a - c)}^{2}), \end{matrix}

amiből kapjuk, hogy

{(a - c)}^{2} < 1

. Ezt az (1) egyenlőtlenségbe visszaírva

\begin{matrix} A' C^{2} < \frac{1}{2} (1 + 1) = 1 \end{matrix}

adódik. Két rácspont távolsága azonban csak akkor lehet 1-nél kisebb, ha a pontok egybeesnek, tehát

A' \equiv C

.
Vagyis az

A

-nak

B

körüli

- 90^{\circ}

-os elforgatottja

C

, azaz

A

B

és

C

valóban egy négyzet három csúcsa.

Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.)