Kezdőlap


Feladat:	Gy.3283	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2000/január, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/május: Gy.3283

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $a$ , $b$ , $c$ -vel a feladatbeli derékszögű háromszög oldalait, $A$ , $B$ , $C$ -vel a csúcsait, továbbá $x$ -szel a beírt négyzet ( $C P Q R$ ) oldalát.

3. ábra

Az ábrának megfelelően az átfogóra emelt négyzet minden oldalára másoljuk át az

A B C

háromszöget, így egy

a + b

oldalú négyzetet kapunk. Vegyük észre, hogy a

C

csúcsból megfelelő arányban kicsinyítve az

a + b

oldalú négyzetet, az

x

oldalú beírt négyzetet kapjuk.
Ezért az

e

egyenes

b : a

arányban osztja a kis négyzet

P Q

oldalát.
Ha a befogóra írt négyzetet

A

-ból

\frac{b}{a + b}

arányban kicsinyítjük, akkor szintén a beírt négyzetet kapjuk, így

x = a \cdot \frac{b}{a + b} = \frac{a b}{a + b}

. A kicsinyítésből látszik, hogy

R

rajta van az

f

egyenesen, ezért

R

képe a kicsinyítésnél megegyezik

P Q

és

f

metszéspontjával. Tehát

f

P Q

szakaszt

C R : R B

arányban osztja. Mivel

\begin{matrix} C R : R B = x : (a - x) = \frac{a b}{a + b} : (a - \frac{a b}{a + b}) = \frac{a b}{a + b} : \frac{a^{2}}{a + b} = b : a, \end{matrix}

beláttuk, hogy

e

és

f

azonos arányban osztja

P Q

-t, így metszéspontjuk,

M

valóban rajta van

P Q

-n.