A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A definícióból nyilvánvaló, hogy az sorozat elemei egész számok. Az állítást indirekt úton fogjuk bizonyítani. Tegyük fel, hogy az sorozat elemei között nincs 4-gyel osztható. A rekurzióból látható, hogy ha páros, akkor az indirekt feltevés szerint páratlan. Ha páratlan, akkor mindenképpen páros. Feltehető, hogy páratlan (ha páros volna, akkor pedig tekintsük a sorozatot, ahol páros). Ekkor minden -re páratlan és páros. Így: | | azaz a helyettesítéssel ahol nyilván a sorozat is egész elemű. A rekurziót átrendezve: amiből | | Ha prímtényezős felbontásában 2 az -edik hatványon szerepel, akkor már nem lehet egész szám. Ez ellentmondás, mivel láttuk, hogy a sorozat elemei egészek. Ebből következik, hogy az sorozatban van 4-gyel osztható elem.
Megjegyzés. Mindmáig bizonyítatlan az a sejtés, hogy az sorozatban előbb-utóbb előfordul az 1 (és onnantól kezdve persze az 1, 4, 2 értékek periodikusan ismétlődnek).
|