Kezdőlap


Feladat:	F.3244	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1999/május, 285. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai egyenletek, Fibonacci-sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/október: F.3244

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $f_{n}$ a Fibonacci számok sorozata ( $f_{0} = 1$ , $f_{1} = 1$ , $f_{n} = f_{n - 1} + f_{n - 2}$ ). Teljes indukcióval bebizonyítjuk, hogy ha a bal oldalon legalább két törtjel van, akkor

\begin{matrix} \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{⋱+ \frac{1}{x}}}} = \frac{f_{n} + f_{n + 1} x}{f_{n + 1} + f_{n + 2} x}, \end{matrix}

ahol

n

kettővel kevesebb a törtjelek számánál.
Ha

n = 0

, akkor az állítás igaz. Az indukciós lépéshez azt kell bebizonyítanunk, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{1 + \frac{f_{n} + f_{n + 1} x}{f_{n + 1} + f_{n + 2} x}} = \frac{f_{n + 1} + f_{n + 2} x}{f_{n + 2} + f_{n + 3} x}, \end{matrix}

azaz, hogy

\begin{matrix} \frac{f_{n + 1} + f_{n + 2} x}{f_{n} + f_{n + 1} + (f_{n + 1} + f_{n + 2}) x} = \frac{f_{n + 1} + f_{n + 2} x}{f_{n + 2} + f_{n + 3} x} . \end{matrix}

Ez viszont következik a Fibonacci számok rekurziójából. A megoldandó egyenlet tehát

\begin{matrix} \frac{f_{n} + f_{n + 1} x}{f_{n + 1} f_{n + 2} x} = x, \end{matrix}

amiből

x = \sqrt[]{\frac{f_{n}}{f_{n + 2}}}

.
Ha

n > 0

, akkor

x > 0

, a lánctörtben nem osztunk nullával, tehát jó megoldásokat kapunk. Ha

n = 0

, akkor

x = 0

, és ebben az esetben a lánctörtnek nincs értelme.
Végül, ha csak egy törtjel van a lánctörtben, akkor az egyenlet

\frac{1}{x} = x

, aminek a pozitív megoldása

x = 1

.
Összefoglalva, a megfelelő

x

-ek a

\sqrt[]{\frac{f_{n}}{f_{n + 2}}}

alakú számok, ahol

n > 0

egész, és az

x = 1