Kezdőlap


Feladat:	Gy.3192	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Máthé András
Füzet:	1999/január, 26 - 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Négyzetszámok tulajdonságai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/március: Gy.3192

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy négyzetszám csak páros számú nullára végződhet. Írjuk a $B$ számot az $A$ mögé, ekkor tehát $B$ páros számú nullára végződik, hiszen $\bar{A B}$ négyzetszám. Könnyű belátni, hogy ha egy $A$ , $B$ pár megfelel a feladat követelményeinek, akkor $A$ , $B \cdot 100$ is megfelel. (Hiszen $\bar{A B}$ és $2 \cdot A \cdot B$ is 100-szorosára változik.) Feltehetjük tehát, hogy $B$ nem osztható 10-zel. Legyen a $B$ szám $b$ -jegyű. Ekkor $\bar{A B}$ négyzetszám, és

\begin{matrix} \bar{A B} = 10^{b} \cdot A + B = 2 \cdot A \cdot B . \end{matrix}

Átrendezve

\begin{matrix} 10^{b} \cdot A = (2 A - 1) \cdot B \end{matrix}

(1)

adódik, azaz

2^{b} \cdot A

osztója a

(2 A - 1) \cdot B

szorzatnak. Azt állítjuk, hogy

2^{b} \cdot A

és a szorzat első tényezője,

2 A - 1

, relatív prímek. Valóban,

2^{b} \cdot A

tetszőleges

p

prímosztója vagy

p = 2

vagy pedig

p

osztója

A

-nak és így

2 A

-nak is. A 2 nyilván nem osztója a páratlan

(2 A - 1)

-nek, a második esetben pedig

p

szintén nem lehet egyidejűleg osztója a szomszédos

(2 A - 1)

-nek és

2 A

-nak.
Így viszont

2^{b} \cdot A

mint a

(2 A - 1) \cdot B

szorzat osztója, a második tényezőnek,

B

-nek is osztója, vagyis

B = k \cdot 2^{b} \cdot A

valamilyen pozitív egész

k

-val. (1)-ben

2^{b} \cdot A

-val egyszerűsítve

\begin{matrix} 5^{b} = (2 A - 1) \cdot k \end{matrix}

(2)

adódik. (2)-ből mind

(2 A - 1)

, mind pedig

k

az 5 hatványa. Mivel

b \geq 1

, azért

k

értéke csak 1 lehet, egyébként ugyanis

B = k \cdot 2^{b} A

osztható volna 10-zel.
Így

5^{b} = 2 A - 1

, azaz

A = \frac{5^{b} + 1}{2}

és

B = 2^{b} \cdot A

. Ekkor

2 \cdot A \cdot B = 2^{b + 1} A^{2}

pontosan akkor négyzetszám, ha

b

páratlan. Eszerint

A = \frac{5^{b} + 1}{2}

és

B = 2^{b} \cdot A = 2^{b - 1} (5^{b} + 1)

, ahol

b

páratlan.
Így

2 \cdot A \cdot B = 2^{b + 1} A^{2}

valóban négyzetszám, fennál az

\bar{A B} = 2 \cdot A \cdot B

egyenlőség, hiszen

\begin{matrix} 10^{b} A + B = 10^{b} \cdot A + 2^{b} \cdot A = 2^{b} \cdot A (5^{b} + 1) = 2^{b + 1} \cdot A^{2} = 2 \cdot A \cdot B, \end{matrix}

végül

10^{b - 1} < B < 10^{b}

, azaz

B

jegyeinek száma valóban

b

.
A feladat követelményeit tehát az

\begin{matrix} A = \frac{5^{b} + 1}{2} és a B = 2^{b} \cdot A \cdot 100^{m} \end{matrix}

alakú számok elégítik ki, ahol

b

páratlan,

m

pedig tetszőleges természetes szám.