Kezdőlap


Feladat:	F.3274	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Jesch Dávid , Torda Péter
Füzet:	1999/december, 543. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/március: F.3274

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ${(a + b)}^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$ azonosságot kétszer alkalmazva

\begin{matrix} \begin{matrix} 0 & = {(x + y + z)}^{3} = {((x + y) + z)}^{3} = {(x + y)}^{3} + z^{3} + 3 (x + y) z (x + y + z) = \\ = x^{3} + y^{3} + 3 x y (x + y) + z^{3} + 3 (x + y) z (x + y + z) = \\ = x^{3} + y^{3} + z^{3} + 3 (z + y) (x + z) (y + z) = \\ = 3 (x + y) (x + z) (y + z), hiszenx^{3} + y^{3} + z^{3}értéke most 0. \end{matrix} \end{matrix}

Az első két egyenletből álló rendszer megoldásai így pontosan azok az

x

y

z

számhármasok, amelyek egyik eleme 0, a másik két elem pedig egymás ellentettje. Ha

z = 0

és

y = - x

, akkor a harmadik egyenlet szerint

2 x^{1999} = 2^{2000}

, ebből az

x = 2

y = - 2

z = 0

megoldást kapjuk. Ha

y = 0

és

z = - x

, akkor hasonlóan eljárva

0 = 2^{2000}

adódik, ami nem ad megoldást. Végül, ha

x = 0

és

z = - y

, akkor

- 2 y^{1999} = 2^{2000}

szerint az

x = 0

y = - 2

z = 2

megoldást kapjuk.

Jesch David (Nagykanizsa Batthyány L. Gimn., 9. o.t.)

Torda Péter (Gyöngyös, Berze Nagy J. Gimn., 11. o.t.)