Kezdőlap


Feladat:	F.3268	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ábrány Miklós , Balogh Attila , Bárány Zsófi , Boros M. Mátyás , Bujdosó Attila , Dancsó Zsuzsanna , Fehér Lajos Károly , Gáspár Merse Előd , Gueth Krisztián , Győri Nikolett , Harangi Viktor , Horváth Gábor , Keszegh Balázs , Kiss Gergely , Kunszenti-Kovács Dávid , Lábó Eszter , Lábó Melinda , Máthé András , Pálvölgyi Dömötör , Pap Júlia , Papp Dávid , Pozsár Balázs , Sido Péter , Szabadka Zoltán , Terpai Tamás , Tran Thanh Long , Vitéz Ildikó
Füzet:	1999/december, 537 - 538. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Prímszámok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/február: F.3268

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $x^{2} - x y + \frac{p + 1}{4} y^{2}$ osztható $p$ -vel, akkor a 4-szerese is $p$ -vel osztható:

\begin{matrix} p ∣ 4 x^{2} - 4 x y + (p + 1) y^{2} = {(2 x - y)}^{2} + p y^{2} . \end{matrix}

Így

2 x - y

is osztható

p

-vel, azaz van olyan

r

egész szám, amelyre

\begin{matrix} 2 x - y = p r . \end{matrix}

(1)

Legyen

v = r

és

u = x - \frac{r (p - 1)}{2}

(

p

páratlan prím, ezért

\frac{p - 1}{2}

és így

u

is egész). Ekkor (1) figyelembevételével

\begin{matrix} \begin{matrix} p (u^{2} - u v + \frac{p + 1}{4} v^{2}) & = \frac{p}{4} (4 u^{2} - 4 u v + (p + 1) v^{2}) = \frac{p}{4} ({(2 u - v)}^{2} + p v^{2}) = \\ \frac{p}{4} ({(2 x - r p)}^{2} + p r^{2}) & = \frac{p y^{2}}{4} + \frac{{(2 x - y)}^{2}}{4} = x^{2} - x y + \frac{p + 1}{4} y^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Fehér Lajos Károly (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 12. o.t.)