Kezdőlap


Feladat:	F.3265	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csiszár Gábor , Pataki Péter
Füzet:	1999/december, 535 - 536. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Háromszögek geometriája, Trigonometrikus függvények, Síkgeometriai bizonyítások, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/január: F.3265

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bocsássunk merőlegeseket a $B$ és $C$ csúcsokból az $A F$ egyenesre, jelöljük ezek talppontját $D$ -vel, illetve $E$ -vel (1. ábra). Ha $A B = A C$ , akkor nyilván $D \equiv F \equiv E$ , ha pedig $A B \neq A C$ , akkor a $B D F$ és a $C E F$ derékszögű háromszögek egybevágóak, mert az $F$ -nél lévő szögeik csúcsszögek és $B F = F C$ . Ezért mindig igaz, hogy $B D = C E$ és $F D = F E$ .
Az állításban szereplő szögfüggvényeket az $A E C$ , $B D A$ és $F D B$ ‐ esetleg elfajuló ‐ derékszögű háromszögek befogóival kifejezve:

\begin{matrix} ctg F A C ∢ = \frac{A E}{C E}, ctg F A B ∢ = \frac{A D}{B D} és ctg A F B ∢ = \frac{D F}{B D}, \end{matrix}

ahol

A E

A D

és

D F

irányított szakaszokat jelöl úgy, hogy az

A F

egyenesen az

A

-ból

F

-be mutató irány a pozitív;

B D

és

C E

pedig pozitívak (2. ábra). A bizonyítandó állítás tehát:

\begin{matrix} \frac{A E}{C E} - \frac{A D}{B D} = 2 \cdot \frac{D F}{B D} . \end{matrix}

(1)

Felhasználva, hogy

B D = C E

és

2 D F = D E

, (1) pontosan akkor igaz, ha

\begin{matrix} A E - A D = D E, vagyis A E = A D + D E . \end{matrix}

Ez az összefüggés az irányított szakaszok közt nyilván teljesül, s mivel ekvivalens a bizonyítandó állításunkkal, ezért az is igaz.