Kezdőlap


Feladat:	Gy.3278	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lakatos Szilvia
Füzet:	1999/december, 533 - 534. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Bűvös-négyzetek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/május: Gy.3278

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a hiányzó elemeket az 1. ábra szerint $T$ , $U$ , $V$ , $X$ , $Y$ és $Z$ -vel! Legyen $S$ a bűvös állandó, azaz a sorokban, oszlopokban vagy átlókban szereplő számok összege. Igazak a következők:

\begin{matrix} \begin{matrix} S - c & = U + Z & (1) \\ S - a & = T + X & (2) \\ a + c & = U + X & (3) \\ a + c & = T + Z & (4) \end{matrix} \end{matrix}

(1)-et és (2)-t, illetve (3)-at és (4)-et összeadva következik, hogy

\begin{matrix} 2 S - a - x = 2 a + 2 c, így S = 3 \cdot \frac{a + c}{2} . \end{matrix}

Ebből sorra, egymás után kiszámolhatók az ismeretlen elemek:

\begin{matrix} V = 3 \cdot \frac{a + c}{2} - (a + c) = \frac{a + c}{2}, Y = 3 \cdot \frac{a + c}{2} - \frac{a + c}{2} - b = a + c - b . \end{matrix}

(2)-ből (3)-at kivonva:

\begin{matrix} T - U = 3 \cdot \frac{a + c}{2} - 2 a - c, másrészt T + U = 3 \cdot \frac{a + c}{2} - b . \end{matrix}

E két utóbbit összeadva és rendezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} T & = \frac{a + 2 c - b}{2}, \\ U & = 3 \frac{a + c}{2} - \frac{a + 2 c - b}{2} - b = \frac{2 a + c - b}{2}, \\ Z & = 3 \frac{a + c}{2} - \frac{a + 2 c - b}{2} - c = \frac{a + b}{2}, \\ X & = 3 \frac{a + c}{2} - \frac{a + 2 c - b}{2} - a = \frac{c + b}{2} . \end{matrix} \end{matrix}

A 2. ábra alapján is könnyen ellenőrizhető, hogy az így egyértelműen meghatározott elemekkel valóban bűvös négyzetet kaptunk.

Lakatos Szilvia (Budapest, II. Rákóczi F. Ált. Isk. 8. o.t.) megoldása alapján

Megjegyzés. A megoldásból következik és a Gy. 3262. megoldásában is szerepelt (ld. e szám 528. oldalán), hogy a bűvös állandó, az egy sorban, egy oszlopban vagy egy átlóban álló elemek összege éppen a középső elem háromszorosa, így a középső elem a vele egy sorban, oszlopban vagy átlóban álló másik két elem számtani közepe.
Kiss Elemér: Matematikai kincsek Bolyai János kéziratos hagyatékából című könyvének 102‐103. oldalán közöl egy olyan

3 \times 3

-as általános bűvös négyzetet, amelyet Bolyai János feljegyzései között talált (3. ábrán), de a hozzá fűzőtt magyarázatnak csak nagyon kis töredéke maradt meg.
Látható, hogy itt a három, kulcshelyzetet elfoglaló szám másképp helyezkedik el a bűvös négyzetben, azonban most is egyértelműen meghatározzák a többi hat számot. Ezt is abból kiindulva bizonyíthatjuk legkönnyebben, hogy a bűvös állandó a középső elem háromszorosa. Az érdeklődők megvizsgálhatják, mi a helyzet akkor, ha a

3 \times 3

-as bűvös négyzet más-más három elemét tekintjük adottnak, illetve milyen más általános alakban írható fel a bűvös négyzet.^{$^{*}$}

Berger György ny. tanár, Marosvásárhely

^{$^{*}$}Ajánlott irodalom:
Kiss Elemér: Matematikai kincsek Bolyai János kéziratos hagyatékából, Akadémiai Kiadó és
TypoTeX Kiadó, Budapest, 1999
Bakos Tibor: Ki tud többet a bűvös négyzetekről, ELFT, Budapest, 1998
Berger György: Bűvös négyzetek, Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár, 1986