Kezdőlap


Feladat:	Gy.3272	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1999/december, 530 - 531. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Terület, felszín, Hossz, kerület, Térfogat, Téglatest, Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/április: Gy.3272

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A téglatest térfogata $a \cdot b \cdot c$ , felszíne pedig $2 (a b + b c + c a)$ . Írjuk fel a felszín és a térfogat közti összefüggést $c = \frac{a b}{2}$ -t behelyettesítve:

\begin{matrix} a b \cdot \frac{a b}{2} = 2 (a b + \frac{a b^{2}}{2} + \frac{a^{2} b}{2}) \end{matrix}

(1)

egyenlőséghez jutunk. Szorozzuk meg mindkét oldalt

\frac{2}{a b}

-vel:

\begin{matrix} \begin{matrix} a b & = 4 + 2 b + 2 a, & (2) \\ a (b - 2) & = 4 + 2 b \\ a & = 2 + \frac{8}{b - 2} . \end{matrix} \end{matrix}

Mivel

a

és

b

egészek, azért szükséges, hogy

b - 2

osztója legyen 8-nak.

Ha	$b - 2 = 8$ ,	akkor a téglatest éleinek mérőszámai	3, 10, 15
ha	$b - 2 = 4$ ,	akkor a téglatest éleinek mérőszámai	4, 6, 12,
ha	$b - 2 = 2$ ,	akkor a téglatest éleinek mérőszámai	4, 6, 12,
ha	$b - 2 = 1$ ,	akkor a téglatest éleinek mérőszámai	3, 10, 15,
ha	$b - 2 = - 1$ ,	akkor $a$ negatív lenne,
ha	$b - 2 = - 2$ ,	akkor $b = 0$ volna,
ha	$b - 2 = - 4$ vagy $- 8$ ,	akkor $b$ negatív szám lenne.

Így két megoldást kapunk: a 3, 10, 15 és a 4, 6, 12 élű téglatesteket.

Megjegyzés. Ha kicsit ügyesebbek vagyunk, a fenti (2) képletet szimmetrikusan alakíthatjuk:

\begin{matrix} (a - 2) (b - 2) = 8. \end{matrix}

(2')

Úgy kell

a

-t és

b

-t meghatároznunk, hogy maguk is pozitív egészek legyenek, és

a - 2

és

b - 2

szorzata 8 legyen. A lehetőségek:

1 \cdot 8

;

2 \cdot 4

;

(- 1) \cdot (- 8)

;

(- 2) \cdot (- 4)

, az első megoldáshoz hasonlóan nézhetők végig.