Feladat: Gy.3264 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bálint Gergely ,  Bognár Attila ,  Boros Vazul ,  Czigány Balázs ,  Deli Lajos ,  Erdei Zsuzsa ,  Horváth Szilárd ,  Karácsony Veronika ,  Kovács Erika ,  Kovács Erika Renáta ,  Nagy Gergely ,  Nagy Tamás ,  Nagy Zoltán ,  Nyul Balázs ,  Pogátsa Attila ,  Somogyi Dávid ,  Spanczér Ilona ,  Tóth Ágnes ,  Veres Péter 
Füzet: 1999/december, 529 - 530. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatóság, Szorzat, hatványozás azonosságai, Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/március: Gy.3264

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás.
22k+3+3k+27k=822k+93k7k=84k+(9+8)3k7k-83k7k==1721k-8(21k-4k).
A különbség első tagja osztható 17-tel, a második tagja pedig osztható a hatványalapok különbségével, 21-4=17-tel. Így az eredeti kifejezés is osztható 17-tel minden k természetes szám esetén.
 
II. megoldás. (Teljes indukcióval.) k=0-ra a kifejezés értéke 17. Legyen k>0, és tegyük fel, hogy 22k+3+3k+27k osztható 17-tel.
Ekkor
22k+5422k+3+3k+37k+1(37)3k+27k=4(22k+3+3k+27k)+173k+27k.
A zárójelben lévő tag az indukciós feltevés miatt osztható 17-tel, tehát k+1-re is teljesül az oszthatóság.
Így 22k+3+3k+27k minden kN esetén osztható 17-tel.
 Kovács 625 Erika (Budapest, Árpád Gimn., 9. o.t.) dolgozata alapján