Feladat:	Gy.3262	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Boros Vazul ,  Horváth Szilárd ,  Tóth Ágnes ,  Zalán Péter
Füzet:	1999/december, 528 - 529. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Bűvös-négyzetek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/március: Gy.3262

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Az 1. ábra jelöléseivel be kell látnunk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle k^2+l^2+m^2}& {\displaystyle =q^2+r^2+s^2\mathrm{,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \left(1\right)}\\ \multicolumn{3}{c}{\text{<br>azaz}}\\ \hfill {\displaystyle k^2-s^2+l^2-r^2+m^2-q^2}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \multicolumn{3}{c}{\text{<br>azaz}}\\ \hfill {\displaystyle \left(k-s\right)\left(k+s\right)+\left(l-r\right)\left(l+r\right)+\left(m-q\right)\left(m+q\right)}& {\displaystyle =0.}\hfill & \hfill {\displaystyle \left(2\right)}\end{array}}}\end{array}$ Mivel $k+o+s=l+o+r=m+o+q=S$ ($S$ a bűvös négyzet állandója), $\begin{array}{c}{\displaystyle k+s=l+r=m+q=S-o\mathrm{,}}\end{array}$ tehát (2) így írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(S-o\right)\left(k-s+l-r+m-q\right)=0.}\end{array}$ (3) De $k+l+m=q+r+s\left(=S\right)$, tehát a szorzat második tényezője 0, ezért az valóban 0. Így az állítást igazoltuk.   II. megoldás. A feladat a következő állítás segítségével is megoldható: Állítás: A $3\times 3$-as bűvös négyzet állandója háromszorosa a középső elemnek. Ez az 1. ábra segítségével a következőképpen látható be. Írjuk fel a bűvös tulajdonságot a középső sorra, a két átlóra, majd az első és harmadik oszlopra: $\begin{array}{c}{\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill n+o+p=S\hfill & \hfill \hfill & \hfill k+n+q=S\hfill \\ \hfill k+o+s=S\hfill & \hfill \hfill & \hfill m+p+s=S\hfill \\ \hfill m+o+q=S\hfill \end{array}}\end{array}$ Vonjuk ki az első három egyenlőség összegéből az utolsó kettő összegét: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle n+o+p+k+o+s+m+o+q-k-n-q-m-p-s=3S-2S\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle \text{és így valóban}3o=S\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Ezt az állítást megtalálhatjuk Bakos Tibor: Ki tud többet a bűvös négyzetekről? című könyvének 43. oldalán is, a 3. ábra pedig azt is megmutatja, hogyan is néz ki általában egy $3\times 3$-as bűvös négyzet. Most Bakos Tibor jelölését használjuk: legyen a középső (centrális) elem $C$, és jelöljük $\left(C+D\right)$-vel a bal felső sarokban, $C+d$-vel a jobb felső sarokban álló számot. (Most $D$ és $d$ tetszőleges (negatív) szám is lehet) (2. ábra). Mivel $3C=S$, azért mindkét átlóban $3C$ kell legyen a számok összege: vagyis a bal alsó és jobb alsó sarokban $C-d$, illetve $C-D$ kell álljon. Innen már könnyen adódik a bűvös négyzet többi eleme is ‐ ez látható a 3. ábrán. A bizonyítandó állítás ekkor: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(C+D\right)}^2+{\left(C-D-d\right)}^2+{\left(C+d\right)}^2={\left(C-d\right)}^2+{\left(C+D+d\right)}^2+{\left(C-D\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ A négyzetreemelést elvégezve láthatjuk, hogy mindkét oldalon ugyanazok a tagok állnak, a feladat állítása teljesül.  Boros Vazul (Berzsenyi D. Gimn., 9. o.t.) dolgozata alapján