Kezdőlap


Feladat:	C.542	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Birkner Tamás
Füzet:	1999/december, 524. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Mértani sorozat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/május: C.542

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A zárójelben álló 2-hatványok összegét felírhatjuk mint egy mértani sorozat összegét, amelyben $a_{1} = 2$ , $q = 2$ ; ekkor

\begin{matrix} S_{n} = 2 (2^{n} - 1) . \end{matrix}

Az (1) egyenlőtlenség tehát így írható fel:

\begin{matrix} (n - 2) 2 (2^{n} - 1) < n \cdot 2^{n} . \end{matrix}

Elvégezve a beszorzást és a 2 hatványait egy oldalra csoportosítva:

\begin{matrix} 2^{n} (n - 4) < 2 n - 4. \end{matrix}

n > 4

, akkor mindkét oldalt eloszthatjuk

2 (n - 4) > 0

-val. Ekkor

\begin{matrix} 2^{n - 1} < \frac{2 n - 4}{2 (n - 4)} = \frac{2 (n - 2)}{2 (n - 4)} = \frac{n - 4 + 2}{n - 4} = 1 + \frac{2}{n - 4} . \end{matrix}

A jobb oldal értéke legfeljebb 3, így ha

n > 4

, akkor a jobb oldal biztosan kisebb, mint a bal oldal; az (1) egyenlőtlenség tehát nem állhat fenn.
Azt viszont könnyen ellenőrizhetjük, hogy ha

n

értéke 1, 2, 3 vagy 4, akkor (1) valóban teljesül.