Kezdőlap


Feladat:	C.540	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1999/december, 522 - 523. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometriával, Hengerek, Gömb és részei, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/április: C.540

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Állítsunk a gömb $O_{1}$ középpontján keresztük a vízszintes síkra merőleges síkot. Ez a sík a hengert egy körben metszi, amelynek a középpontját jelöljük $O_{2}$ -vel, sugarát $R$ -rel. $O_{2}$ -ből a vízszintes síkra állított merőleges talppontja $T$ , a két kör közös érintési pontja $E$ , a közös érintő a vízszintes síkot az $M$ pontban metszi.
Az $O_{1} O_{2} T ∢ = O_{1} M E ∢ = α$ , hiszen merőleges szárú hegyesszögek.
Az $O_{1} O_{2} T$ háromszögből $cos α = \frac{R}{R + 10}$ , ahonnan

\begin{matrix} R = \frac{10 cos α}{1 - cos α} . \end{matrix}

(1)

α = 30^{\circ}

cos α = \frac{\sqrt[]{3}}{2}

és

R = 10 (3 + 2 \sqrt[]{3}) \approx 64,64

.
Azt állítjuk, hogy a

0 < α \leq 30^{\circ}

intervallumban ez a legkisebb

R

érték.
(1) jobb oldalát alakítsuk át a következőképpen:

\begin{matrix} 10 \frac{cos α}{1 - cos α} = 10 \frac{cos α - 1 + 1}{1 - cos α} = 10 (\frac{1}{1 - cos α} - 1) . \end{matrix}

0 < α < 30^{\circ}

, akkor

α

csökkenésével

cos α

nő,

1 - cos α

csökken, és

\frac{1}{1 - cos α}

nő (és persze

- 1

-et levonva és 10-zel szorozva is nőni fog). Az

R : α \to \frac{10 cos α}{1 - cos α}

függvény tehát szigorúan monoton csökkenő, ha

0 < α < 90^{\circ}

R

tehát valóban

30^{\circ}

-nál veszi fel a legkisebb értékét, ha

0 < α \leq 30^{\circ}