Kezdőlap


Feladat:	C.538	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartha Ágnes
Füzet:	1999/december, 520 - 521. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Prímszámok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/április: C.538

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Könnyen ellenőrizhetjük, hogy $p = + 2$ nem megoldása a feladatnak, hiszen ekkor $4 p + 1 = 4 \cdot 2 + 1 = 9$ nem prímszám.
A $p = - 2$ -re viszont $2 p + 1 = - 3$ , $4 p + 1 = - 7$ , $6 p + 1 = - 11$ , ez tehát megfelelő.
Kérdés, van-e más megoldása is a feladatnak.
Vegyük észre, hogy bármely $p$ egészre $p$ , $2 p + 1$ , $4 p + 1$ közül pontosan egy osztható 3-mal, a $6 p + 1$ viszont soha sem osztható 3-mal.
1. Ha $p$ osztható 3-mal, akkor mivel prímszám, ez csak úgy lehet, hogy $p = \pm 3$ .

Ha $p = 3$ ,	akkor	$2 p + 1 = 7$ ,	$4 p + 1 = 13$ ,	$6 p + 1 = 19$
és ha $p = - 3$ ,	akkor	$2 p + 1 = - 5$ ,	$4 p + 1 = - 11$ ,	$6 p + 1 = - 17$ .

Ekkor a kapott értékek mindegyike prímszám, tehát

p = \pm 3

megoldás.
2. Ha 3 osztója a

(2 p + 1)

-nek, akkor a

2 p + 1

prímszám lehetséges értékei

2 p + 1 = 3

, ahonnan

p = 1

, ami nem prímszám, vagy

2 p + 1 = - 3

, ahonnan

p = - 2

, s erről már láttuk, hogy megoldás.
3. Hasonlóan, ha

4 p + 1 = 3

, akkor

p = \frac{1}{2}

nem egész szám, vagy

4 p + 1 = - 3

és

p = - 1

, ami nem prím.
Összefoglalva:

p

keresett értékei

- 2

és

\pm 3

, és több megoldás nincs.

Bartha Ágnes (Kézdivásárhely, Nagy Mózes Líceum, 9. o.t.)