Kezdőlap


Feladat:	C.534	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Agócs Judit
Füzet:	1999/december, 518 - 519. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Természetes számok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/március: C.534

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első 539 pozitív egész szám összege a számtani sorozat ismert összegképlete szerint:

\begin{matrix} S_{539} = \frac{539 \cdot 540}{2} = 145 530. \end{matrix}

Ahhoz, hogy a kiválasztott számok összege a fenti összegnek legalább egyharmada legyen és kevés számot kelljen kiválasztanunk az kell, hogy nagy számokat válasszunk.
Legyen a kiválasztott számok közül a legkisebb az

x

, a továbbiak

x + 1

x + 2

...

539

.
Ezek összegéről,

S'

-ről azt akarjuk, hogy legalább egyharmada legyen

S

-nek, azaz

\begin{matrix} 48 510 = \frac{145 530}{3} \leq S' = \frac{n}{2} (x + 539), \end{matrix}

(1)

ahol

n

a kiválasztott számok száma. Tudjuk, hogy a számtani sorozatban

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

, esetünkben

d = 1

és

\begin{matrix} 539 = x + (n - 1) \cdot 1, \end{matrix}

ahonnan

n = 540 - x

. Ezt (1)-be helyettesítve és rendezve:

\begin{matrix} (540 - x) (x + 539) \geq 97 020. \end{matrix}

Innen a következő másodfokú egyenlőtlenséghez jutunk:

\begin{matrix} x^{2} - x - 194 040 \leq 0. \end{matrix}

A megfelelő egyenlet pozitív gyöke az

x = 441

; ez az egyenlőtlenség legnagyobb megoldása. Ha ez a legkisebb kiválasztott szám, akkor 99 számot kell kiválasztanunk.

Agócs Judit (Budapest, Árpád Gimn., 11. o.t.)