Kezdőlap


Feladat:	C.530	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Birkner Tamás , Lovas Róbert
Füzet:	1999/december, 518. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometria, Koordináta-geometria, Racionális számok és tulajdonságaik, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/február: C.530

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük fel az egység sugarú körben az $α$ szöget. A mozgó szár és a kör metszéspontja $P$ , koordinátái $x$ és $y$ . A szinusz- és koszinuszértékeket a szokásos módon értelmezve:

\begin{matrix} sin α = y, cos α = x . \end{matrix}

Az egység sugarú kör és az

x

tengely

A

metszéspontjára

P A O ∢ = \frac{α}{2}

A P

iránytangense:

tg \frac{α}{2} = m

B P

iránytangense:

- \frac{1}{m}

(merőlegesek egymásra). Ha

sin α

és

cos α

racionális, akkor

A

és

P

racionális koordinátájú pontok, így

A P

iránytangense, azaz

tg \frac{α}{2}

is racionális.
Megfordítva, az

A P

és

B P

egyenesek egyenletei:

\begin{matrix} y = m (x + 1), illetve y = - \frac{1}{m} (x - 1) . \end{matrix}

Az egyenesek metszéspontjának koordinátái:

\begin{matrix} x = \frac{1 - m^{2}}{m^{2} + 1} és y = \frac{2 m}{m^{2} + 1} . \end{matrix}

Mivel

m

racionális, az

x = sin α

és

y = cos α

is racionális.
Végül ha

tg \frac{α}{2}

nincs értelmezve, akkor

cos \frac{α}{2} = 0

és

sin \frac{α}{2} = \pm 1

. A

sin α = 2 cos \frac{α}{2} sin \frac{α}{2}

összefüggésből

sin α = 0

, a

cos α = cos^{2} \frac{α}{2} - sin^{2} \frac{α}{2}

-ből pedig

cos α = 1

, azaz

sin α

és

cos α

ebben az esetben is racionális értékű.