Kezdőlap


Feladat:	F.3282	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Györey Bernadett , Papp Dávid , Terpai Tamás
Füzet:	1999/november, 487. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú függvények, Függvényvizsgálat, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/április: F.3282

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $x^{2} + y^{2} = 1$ feltétel szerint van olyan $α$ valós szám, amelyre $x = sin α$ és $y = cos α$ . A vizsgált kifejezés így

\begin{matrix} x^{2} + 2 x y = \frac{1 - cos 2 α}{2} + sin 2 α = \frac{1 + (2 sin 2 α - cos 2 α)}{2} . \end{matrix}

A zárójelben álló függvényről megmutatjuk, hogy értékkészlete a zárt

[- \sqrt[]{5}, \sqrt[]{5}]

intervallum.
Mivel

{(\frac{2}{\sqrt[]{5}})}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt[]{5}})}^{2} = 1

, azért létezik olyan

β

, amelyre

cos β = \frac{2}{\sqrt[]{5}}

és

sin β = \frac{1}{\sqrt[]{5}}

. Ezzel az

\begin{matrix} f (α) = sin (2 α - β) = \frac{2}{\sqrt[]{5}} sin 2 α - \frac{1}{\sqrt[]{5}} cos 2 α \end{matrix}

függvény értékkészlete a

[- 1, 1]

intervallum, ami állításunkkal egyenértékű. Tehát

x^{2} + 2 x y

értékei az

[\frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{5}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{5}}{2}]

intervallum pontjait futják futják be.

Papp Dávid (Budapest, Szent István Gimn., 11. o.t.)