Feladat: F.3267 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Csirmaz Előd ,  Gáspár Merse Előd ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Naszódi Gergely ,  Pálvölgyi Dömötör ,  Szabó Péter ,  Székelyhidi Gábor ,  Terpai Tamás ,  Vitéz Ildikó ,  Zsbán Ambrus 
Füzet: 1999/november, 485 - 487. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Topológia, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/január: F.3267

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nem, az állítás nem igaz. Egy tórusz alakú bolygón építhető kilenc darab, a házakat és a kutakat összekötő, egymást nem metsző út. Ennek bizonyítására egy példát adunk. Felhasználjuk a tórusz egy egyszerű előállítását: Egy téglalap két szemben lévő élét összeragasztva egy hengert kapunk. Ha ennek a hengernek a két alaplapját ismét összeragasztjuk, akkor egy tórusz keletkezik (1. ábra). (Eljárásunk visszafelé is működik, ha a 2. ábrán látható tóruszt a berajzolt két körvonal mentén felvágjuk, akkor felszínét egy téglalappá simíthatjuk ki.)
Elegendő tehát egy téglalapra rajzolva megadni a konstrukciót. Ez látható a 3. ábrán. A téglalap szemközti éleit összeragasztva egy tóruszt kapunk, aminek a felszínén az A, A'; B, B'; C, C' és D, D'; pontok páronként egybeesnek, s a házakat a kutakkal összekötő utak pedig a nem metszik egymást a tóruszon, hiszen a téglalapon sem metszették.

 Vitéz Ildikó (Miskolc, Földes F. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján

 
Megjegyzések. 1. Meg lehet mutatni, hogy akárhogyan is helyezkedik el a 3 ház és a 3 kút a tóruszon, mindig építhető 9 darab, őket összekötő, egymást nem metsző út.
2. A tóruszon még 4 ház és 4 kút esetén is építhető 16, egymást nem metsző összekötő út (4. ábra), 5 ház és 5 kút viszont már nem köthető össze 25 egymást páronként nem metsző úttal.
3. A tórusz és a gömb eltérő viselkedésének az az oka, hogy a gömbfelszín ún. egyszeresen összefüggő felület, ami azt jelenti, hogy ha bármilyen zárt görbét rajzolunk rá, akkor a felületen lesznek olyan pontok ‐ például az 5. ábrán látható A és B ‐, amelyeket nem tudunk összekötni úgy, hogy a zárt görbét ne messük. A tórusz viszont nem ilyen, a 2. ábrán látható két kör berajzolása után még mindig össze tudjuk kötni a felület két tetszőleges pontját úgy, hogy az összekötő görbe egyik körvonalat se messe.