Kezdőlap


Feladat:	F.3261	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Dancsó Zsuzsanna , Dénes Attila , Gáspár Merse Előd , Gerencsér Balázs , Gueth Krisztián , Harangi Viktor , Horváth András , Horváth Gábor , Keszegh Balázs , Kiss Gergely , Máthé András , Naszódi Gergely , Szabadka Zoltán , Székelyhidi Gábor , Szilasi Zoltán , Terpai Tamás , Vaik István
Füzet:	1999/október, 420 - 422. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tetraéderek, Hossz, kerület, Terület, felszín, Vektorok lineáris kombinációi, Vektorok skaláris szorzata, Vektorok vektoriális szorzata, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/december: F.3261

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megoldáshoz a vektorok skaláris szorzatán kívül a vektoriális szorzásra is szükségünk lesz; az $u$ és $v$ vektorok vektoriális szorzatán azt a $z = u \times v$ vektort értjük, amely $u$ -ra is és $v$ -re is merőleges, $z$ hossza $u$ és $v$ hosszának, valamint közbezárt szögük szinuszának a szorzata, és $u$ , $v$ , $u \times v$ ebben a sorrendben ún. jobbrendszert alkot. Felhasználjuk a következő azonosságokat:

$v \times u = - u \times v$
$t \times (u + v) = t \times u + t \times v$ (disztributivitás)
$t \times (u \times v) = (t v) u - (t u) v$ (kifejtési tétel)

$(u \times v) t = (v \times t) u = (t \times u) v$ (az $u$ , $v$ , $t$ vektorok ún. vegyes szorzata; ez pontosan
akkor $0$ , ha a három vektor egysíkú.)

Először azt mutatjuk meg, hogy ha egy tetraéder minden lapjára ,,kifelé'' azt a vektort állítjuk, amely a lapra merőleges és a hossza e lap területe, akkor az így kapott négy vektor összege $0$ . Jelöljük a tetraéder egyik csúcsából a másik három csúcsba mutató vektort $a$ , $b$ , $c$ -vel; a négy szóban forgó vektor ‐ ha $a$ , $b$ és $c$ ebben a sorrendben jobbrendszert alkot, ami feltehető:

\begin{matrix} w_{1} = \frac{1}{2} b \times a, w_{2} = \frac{1}{2} c \times b, w_{3} = \frac{1}{2} a \times c, w_{4} = (a - c) \times (b - c). \end{matrix}

A disztributivitás szerint

2 w_{4} = a \times b - a \times c - c \times b

, ezért valóban

w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{4} = 0

.
Térjünk rá ezután a feladat állítására. A feltételek alapján például

v_{1}

v_{2}

és

v_{3}

nem egysíkúak. Nyilván elegendő olyan (szükségképpen nem egysíkú)

a

b

c

vektorokat találni, amelyekre

\begin{matrix} \begin{matrix} b \times c & = 2 v_{1}, \\ c \times a & = 2 v_{2}, & (1) \\ a \times b & = 2 v_{3} . \end{matrix} \end{matrix}

Az első két egyenlet megfelelő oldalait vektoriálisan összeszorozva:

\begin{matrix} (b \times c) \times (c \times a) = 4 v_{1} \times v_{2} . \end{matrix}

A bal oldalt a kifejtési tétel szerint átalakítva:

\begin{matrix} (b \times c) \times (c \times a) = [(b \times c) a] c - [(b \times c) c] a = [(b \times c) a] c . \end{matrix}

Jelöljük a keresett

a

b

c

vektorok vegyes szorzatát

W

-vel; ekkor

W c = 4 v_{1} \times v_{2}

, hasonlóan

W b = 4 v_{3} \times v_{1}

és

W a = 4 v_{2} \times v_{3}

. Ez azt mutatja, hogy (1) egyenletrendszerünk megoldása csak az

a_{0} = v_{2} \times v_{3}

b_{0} = v_{3} \times v_{1}

c_{0} = v_{1} \times v_{2}

vektorhármas skalárszorosa lehet. Valóban (az előbbiekhez hasonló átalakítással),

\begin{matrix} \begin{matrix} b_{0} \times c_{0} = (v_{3} \times v_{1}) \times (v_{1} \times v_{2}) = [(v_{3} \times v_{1}) v_{2}] v_{1}, \\ c_{0} \times a_{0} = [(v_{1} \times v_{2}) v_{3}] v_{2}, \\ a_{0} \times b_{0} = [(v_{2} \times v_{3}) v_{1}] v_{3} . \end{matrix} \end{matrix}

v_{1}

v_{2}

v_{3}

vektorok (nemnulla) vegyes szorzatát

V

-vel jelölve így

a = \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{V}} v_{2} \times v_{3}

b = \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{V}} v_{3} \times v_{1}

c = \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{V}} v_{1} \times v_{2}

megoldása (1)-nek, feltéve, hogy

V > 0

; ez viszont a

v_{1}

v_{2}

v_{3}

vektorok sorrendjének alkalmas megválasztásával elérhető, ezért eleve föltehető.

Szilasi Zoltán (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., 10. o.t.)

Megjegyzések. 1. A vektoriális szorzás felhasznált tulajdonságainak igazolása megtalálható pl. Hajós György: Bevezetés a geometriába c. könyvében.
2. A megoldás első felében tetraéderre igazolt állítás (e speciális eset eredményének felhasználásával!) tetszőleges konvex poliéderre is igazolható: a kifelé mutató, a megfelelő lapokra merőleges és lapterület-hosszúságú vektorok összege 0.