Kezdőlap


Feladat:	F.3259	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Venter György
Füzet:	1999/október, 418 - 419. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Derékszögű háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/december: F.3259

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tudjuk, hogy a derékszögű háromszög hegyesszögeinek tangensei egymás reciprokai, ezért a $tg α = x$ jelöléssel egyenletünk

\begin{matrix} x + \frac{1}{x} + x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 70 \end{matrix}

alakba írható. Ez egy ún. reciprok-egyenlet, célszerű

x + \frac{1}{x}

helyére egy

A

-val jelölt, új ismeretlent bevezetni. Ekkor

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = A^{2} - 2

és

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = A^{3} - 3 A

, így az egyenlet

\begin{matrix} A + A^{2} - 2 + A^{3} - 3 A = 70. \end{matrix}

Rendezve és szorzattá bontva kapjuk, hogy

\begin{matrix} (A - 4) (A^{2} + 5 A + 18) = 0. \end{matrix}

Mivel

A^{2} + 5 A + 18 = {(A + 2,5)}^{2} + 11,75 > 0

, azért az egyenlet egyetlen valós gyöke

A = 4

. Ebből kapjuk, hogy

x + \frac{1}{x} = 4

, azaz

x^{2} - 4 x + 1 = 0

. Tehát

x_{1, 2} = 2 \pm \sqrt[]{3}

.
Mivel

2 + \sqrt[]{3} = \frac{1}{2 - \sqrt[]{3}}

, azért a háromszög két hegyesszögének tangense

2 + \sqrt[]{3}

, illetve

2 - \sqrt[]{3}

, tehát a háromszög hegyesszögei

75^{\circ}

és

15^{\circ}

. (Ezen szögek szögfüggvényeit az addíciós tételek segítségével tudjuk pontosan meghatározni, pl.

\begin{matrix} tg 75^{\circ} = tg (45^{\circ} + 30^{\circ}) = \frac{tg 45^{\circ} + tg 30^{\circ}}{1 - tg 45^{\circ} \cdot tg 30^{\circ}} = \frac{1 + \frac{\sqrt[]{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt[]{3}}{3 - \sqrt[]{3}} = 2 + \sqrt[]{3} .) \end{matrix}

Venter György (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján