A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a test éleinek számát -vel, az oldalú lapok számát -vel, az számú élt tartalmazó csúcsok számát pedig -vel (, 5, 7, ). Mivel a test minden éle két lapon van rajta, illetve két csúcsban végződik, azért | | A poliéder konvex, ezért érvényes rá Euler tétele: . Ezt 4-gyel szorozva és az előző két egyenlőséget felhasználva, átalakítva kapjuk, hogy | | Ezt rendezve | | adódik. A feladat feltételei szerint , ami csak úgy lehetséges, ha a testnek a háromszöglapokon kívül pontosan egy ötszöglapja van, vagy a három élre illeszkedő csúcsokon kívül pontosan egy ötélű csúcsa van. Az első esetben és , tehát vagyis , azaz , ami nyilván nem lehet, mert a háromszöglapok szám egész szám. A második esetben teljesen hasonló módon adódik, ami szintén lehetetlen. Ezzel megmutattuk, hogy a feladat kérdésére a válasz: nem.
Birkner Tamás (Budapest, Deutsche Schule, 6. o.t.) dolgozata alapján |
|