Kezdőlap


Feladat:	F.3249	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Birkner Tamás , Terpai Tamás
Füzet:	1999/október, 412 - 413. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Euler-féle poliédertétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/október: F.3249

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a test éleinek számát $e$ -vel, az $i$ oldalú lapok számát $ℓ_{i}$ -vel, az $i$ számú élt tartalmazó csúcsok számát pedig $c_{i}$ -vel ( $i = 3$ , 5, 7, $...$ ). Mivel a test minden éle két lapon van rajta, illetve két csúcsban végződik, azért

\begin{matrix} 2 e = 3 ℓ_{3} + 5 ℓ_{5} + 7 ℓ_{7} + ... + i \cdot ℓ_{i} + ... és 2 e = 3 c_{3} + 5 c_{5} + 7 c_{7} + ... + i c_{i} + ... \end{matrix}

A poliéder konvex, ezért érvényes rá Euler tétele:

e + 2 = (ℓ_{3} + ℓ_{5} + ℓ_{7} + ...) + (c_{3} + c_{5} + c_{7} + ...)

. Ezt 4-gyel szorozva és az előző két egyenlőséget felhasználva, átalakítva kapjuk, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} 4 (ℓ_{3} + ℓ_{5} + ℓ_{7} + ...) + 4 (c_{3} + c_{5} + c_{7} + ...) = 4 e + 8 = \\ 2 e + 2 e + 8 = (3 ℓ_{3} + 5 ℓ_{5} + 7 ℓ_{7} + ...) + (3 c_{3} + 5 c_{5} + 7 c_{7} + ...) + 8. \end{matrix} \end{matrix}

Ezt rendezve

\begin{matrix} ℓ_{3} + c_{3} = 8 + (ℓ_{5} + 3 ℓ_{7} + ... + (i - 4) ℓ_{i} + ...) + (c_{5} + 3 c_{7} + ... + (i - 4) c_{i} + ...) \end{matrix}

adódik.
A feladat feltételei szerint

ℓ_{3} + c_{3} = 9

, ami csak úgy lehetséges, ha a testnek a háromszöglapokon kívül pontosan egy ötszöglapja van, vagy a három élre illeszkedő csúcsokon kívül pontosan egy ötélű csúcsa van. Az első esetben

ℓ_{5} = 1

és

c_{5} = 0

, tehát

\begin{matrix} 2 e = 3 ℓ_{3} + 5 \cdot 1 = 3 c_{3} = 3 \cdot (9 - ℓ_{3}), \end{matrix}

vagyis

3 ℓ_{3} + 5 = 27 - 3 ℓ_{3}

, azaz

ℓ_{3} = \frac{11}{3}

, ami nyilván nem lehet, mert a háromszöglapok szám egész szám. A második esetben teljesen hasonló módon

c_{3} = \frac{11}{3}

adódik, ami szintén lehetetlen.
Ezzel megmutattuk, hogy a feladat kérdésére a válasz: nem.

Birkner Tamás (Budapest, Deutsche Schule, 6. o.t.) dolgozata alapján