Feladat: Gy.3248 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Deli Lajos ,  Horváth Szilárd ,  Koch Dénes 
Füzet: 1999/október, 408. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Irracionális egyenletek, Prímszámok, Legnagyobb közös osztó, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/január: Gy.3248

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha x és y nem negatív egészek, akkor négyzetre emelve az eredetivel ekvivalens egyenletet kapunk:

x+y+2xy=p.(1)
x, y és p is egészek, így 2xy is egész, tehát xy racionális, azaz xy is egész kell legyen, tehát xy négyzetszám.
Legyen d az x és y legnagyobb közös osztója. Mivel d∣x és d∣y, így d2∣xy, tehát d∣xy, ezért d osztója (1) bal oldalának, azaz d∣p. Mivel p prím, így d=1 vagy d=p lehet.
Ha d=1, akkor x és y relatív prímek, ezért mivel xy négyzetszám, x és y is négyzetszám, és (1) miatt (x+y)2=p, ami lehetetlen, hiszen a p prím nem lehet négyzetszám. Így csak d=p állhat fenn, ekkor x és y közül az egyik p-vel, a másik 0-vel egyenlő.
Az egyenletnek tehát csak x=0; y=p és y=0; x=p a megoldásai.
 Koch Dénes (Linz, Akademisches Gymn., 10. o.t.) dolgozata alapján