Feladat:	Gy.3247	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Backhausz Ágnes ,  Deli Lajos ,  Erdei Zsuzsa ,  Gémes Norbert ,  Harangi Viktor ,  Horváth Szilárd ,  Karácsonyi József Sándor ,  Nagy János ,  Nagy Tamás ,  Pozsonyi Tamás ,  Schlanger Judit ,  Siska Ádám ,  Somogyi Dávid ,  Szalay Zsófia ,  Székelyhidi Tamás ,  Tábor Áron ,  Tóth Ágnes ,  Tóth Rudolf ,  Zalán Péter ,  Zséger Ádám
Füzet:	1999/október, 407 - 408. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/január: Gy.3247

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle A={1997}^{{1998}^{1999}}={1997}^{{1998}^{\left(1997+2\right)}}={1997}^{{1998}^2\cdot {1998}^{1997}}={\left({1997}^{{1998}^2}\right)}^{{1998}^{1997}}\mathrm{.}}\end{array}$ Legyen $a={1997}^{{1998}^2}$, $B={1999}^{{1998}^{1997}}$, $b=1999$. Mivel ${1997}^2>1999$, így ${1997}^{{1998}^2}>1999$, azaz $a>b$, és mivel mindkettő 1-nél nagyobb szám, így ugyanarra a hatványra emelve őket, megmarad az egyenlőtlenség. Ezért $A=a^{{1998}^{1997}}>B=b^{{1998}^{1997}}$. Tehát a bal oldali szám a nagyobb.  Nagy 725 János (Eger, Dobó I. Gimn., 9. o.t.) és    Karácsonyi József Sándor (Szekszárd, Garay J. Gimn., 10. o.t.) megoldása alapján   Megjegyzések. 1. Többen logaritmussal számoltak. 2. Harangi Viktor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 9. o.t.) hasonló gondolatmenettel általánosan, minden $k\ge 3$ egész számra belátta, hogy ${\left(k-1\right)}^{k^{k+1}}>{\left(k+1\right)}^{k^{k-1}}$.