Kezdőlap


Feladat:	Gy.3242	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Andrássy Zoltán , Kovács Erika Renáta , Tran Thanh Long
Füzet:	1999/október, 403 - 404. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Négyszögek geometriája, Paralelogrammák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/december: Gy.3242

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a feladatban említett belső pont $P$ . Mivel az $A P B$ és $B C P$ háromszögek területe egyenlő, az ezekben közös $B P$ -hez tartozó $A T_{1}$ és $C T_{2}$ magasságok is egyenlők. Ha $T_{1}$ és $T_{2}$ egybeesnek, akkor $B P$ felezi $A C$ -t. Ha $T_{1}$ és $T_{2}$ különbözőek, akkor $A T_{1} C T_{2}$ paralelogramma, amelynek átlói felezik egymást, így $B P$ most is felezi $A C$ -t (ábra).
Hasonlóan igaz, hogy $P D$ is felezi az $A C$ átlót. Ezért ha $B P$ és $P D$ különbözőek, $P$ metszéspontjuk az $A C$ átló felezőpontja, míg ha egybeesnek, az éppen azt jelenti, hogy a $B$ , $P$ és a $D$ egy egyenesen vannak, tehát $P$ rajta van a $B D$ átlón.
Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.

Kovács Erika Renáta (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 9. o.t.)