Kezdőlap


Feladat:	C.529	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Sipos Tünde
Füzet:	1999/szeptember, 348 - 349. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Osztók száma, Prímtényezős felbontás, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/február: C.529

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 360 osztóinak számát a prímtényezős felbontásból határozzuk meg az ismert összefüggés szerint.
Ha $n = p_{1}^{α_{1}} \cdot p_{2}^{α_{2}} \cdot ... \cdot p_{k}^{α_{k}}$ , akkor $n$ osztóinak száma

\begin{matrix} d (n) = (α_{1} + 1) (α_{2} + a) ... (α_{n} + 1) . \end{matrix}

360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

d (360) = (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 24

.
Keressük tehát azt a legkisebb

N

páratlan számot, amelynek 24 osztója van. Mivel a keresett szám páratlan, törzstényezős felbontásában csak páratlan prímszámok szerepelnek. Mivel azt akarjuk, hogy

N

a lehető legkisebb legyen, azért felbontásában a lehető legkisebb páratlan prímszámok kell szerepeljenek; kezdjük ezért a 3-mal.

N = 3^{23}

: ez nagyon nagy szám, ennél biztos találunk kisebbet.

N = 3^{α_{1}} \cdot 5^{α_{2}}

(α_{1} + 1) (α_{2} + 1) = 24

. Kéttényezős szorzatra felbontva a 24-et:

\begin{matrix} 24 = 2 \cdot 12 = 3 \cdot 8 = 4 \cdot 6 . \end{matrix}

1-nél nagyobb alap esetén az exponenciális függvény szigorúan monoton nő, és ha az alapot növeljük, a hatvány értéke nő ugyanakkora kitevő mellett. Ezeket figyelembe véve, 3 kitevője nagyobb kell legyen, mint az 5 kitevője, ha minél kisebb számra törekszünk.
24 kéttényezős felbontásaiból:

N = 3^{11} \cdot 5

vagy

3^{7} \cdot 5^{2}

vagy

3^{5} \cdot 5^{3}

.
Hasonlítsuk össze ezeket a szorzatokat:

\begin{matrix} 3^{11} \cdot 5 = 3^{7} \cdot 3^{4} \cdot 5 = 3^{7} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 > 3^{7} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} > 3^{7} \cdot 5^{2}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} 3^{7} \cdot 5^{2} = 3^{5} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} > 3^{5} \cdot 5^{3}, \end{matrix}

vagyis a legkisebb az

N = 3^{5} \cdot 5^{3} = 30 375

.
Vegyük a következő prímszámot, a 7-et, és vizsgáljuk a 24 háromtényezős felbontásait.

24 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 3 \cdot 4

, most a legkisebb

N = 3^{5} \cdot 5 \cdot 7

vagy

3^{3} \cdot 5^{2} \cdot 7

.
Az előzőhöz hasonlóan látható, hogy

\begin{matrix} 3^{3} \cdot 5^{2} \cdot 7 = 4725 < 3^{5} \cdot 5 \cdot 7. \end{matrix}

Ha 24-et négy tényező szorzatára bontjuk (ez csak egyféleképpen lehetséges, hiszen

24 = 2^{3} \cdot 3

) és vesszük a következő prímszámot, a 11-et, azt kapjuk, hogy

N = 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 3465

.
Mivel négynél több prím szorzatára már nem bontható a 24, ez a legkisebb szám, amely eleget tesz a feladat feltételeinek.

Sipos Tünde (Heves, Eötvös J. Gimn., 12. o.t.)