Kezdőlap


Feladat:	C.525	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balka Richárd , Farkas Milán , Havran Dániel , Kmellár Béla , Kovács Andrea , Legány Csaba , Palotás Bálint
Füzet:	1999/szeptember, 346 - 347. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/január: C.525

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a 687-napos ,,Mars-év'' $x$ darab 26-napos és $y$ darab 29-napos hónapból áll, a Nyírbálók javaslata pedig ezt $p$ darab 27-napos és $q$ darab 31-napos hónapra változtatná, akkor ‐ alkalmas $x$ , $y$ , $p$ , $q$ pozitív egészekkel

\begin{matrix} \begin{matrix} 26 x + 29 y & = 687 és & (1) \\ 27 p + 31 q & = 687, továbbá & (2) \end{matrix} \end{matrix}

a Nyírbálók szándéka szerint

p + q < x + y

.
(1)-ből

26 x + 26 y < 687 < 29 x + 29 y

, ahonnan

\begin{matrix} 23 < \frac{687}{29} < x + y < \frac{687}{26} < 27, \end{matrix}

(1')

x + y

lehetséges értékei tehát 24, 25 és 26.
Hasonlóan kapjuk (2)-ből, hogy

27 p + 27 q < 687 < 31 p + 31 q

, azaz

\begin{matrix} 22 < \frac{687}{31} < p + q < \frac{687}{27} < 26, \end{matrix}

(2')

így

p + q

lehetséges értékei: 23, 24 és 25.
A nagyratörő reform tehát megvalósíthatónak látszik, de gondoljuk meg, hogy

x

y

p

és

q

is egész számok.
(1)-ben mindkét oldalhoz

(x + y)

-t, (2)-ben pedig mindkét oldalhoz

(p + q)

-t adva

\begin{matrix} \begin{matrix} 27 x + 30 y & = 687 + x + y, & (3) \\ 28 p + 32 q & = 687 + p + q . & (4) \end{matrix} \end{matrix}

(3) bal oldalán 3-mal, (4) bal oldalán pedig 4-gyel osztható szám áll. Mivel 687 osztható 3-mal, 4-gyel osztva pedig 3-at ad maradékul, azért

x + y

3-mal osztható,

p + q

pedig 1 maradékot ad 4-gyel osztva.
A lehetséges értékek közül ez egyedül az

x + y = 24

és a

p + q = 25

esetben teljesül, dacára a rövidebb hónapoknak.
A Nyírbálók próbálkozása tehát nem sikerülhet, a reform után a hónapok száma nem csökken, hanem nő.

Megjegyzés. A teljesség kedvéért ellenőrizhető, hogy

x + y = 24

és

p + q = 25

választással valóban létezik a 687-napos év adott hosszúságú hónapokra történő felosztása. (A megoldás során csupán e felosztások szükséges feltételeit használtuk.)
Ha

x + y = 24

, akkor

3 y = 687 - 26 (x + y) = 63

, így

y = 21

és

x = 3

, ha pedig

p + q = 25

, akkor

4 q = 687 - 27 (p + q) = 12

, azaz

q = 3

és

p = 22