Kezdőlap


Feladat:	C.524	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1999/szeptember, 345 - 346. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek geometriája, Természetes számok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/december: C.524

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat szövege szerint a $P$ pont az $A B$ szakaszon van, a $Q$ pedig az $A B$ egyenes által két részre osztott sík $C$ -vel átellenes félsíkjában, ábránk így megfelel a szövegnek.
Mivel $A C B ∢ > A C P ∢ = 30^{\circ}$ , az egyenlő szárú háromszög egyenlő szögei kisebbek, mint $\frac{180^{\circ} - 30^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$ . A feltétel szerint e szögek mérőszáma egész, így $C A B ∢ \leq 74^{\circ}$ . Az $A P C$ háromszög $P$ -nél lévő külső szöge, $C P B ∢$ ezért legfeljebb $74^{\circ} + 30^{\circ} = 104^{\circ}$ .
Ez azt jelenti, hogy a $Q P B$ háromszög $Q P B ∢$ szöge legalább $360^{\circ} - Q P C ∢ - C P B ∢ \geq 360^{\circ} - 78^{\circ} - 104^{\circ} \geq 178^{\circ}$ . A feltétel szerint a $Q P B$ háromszög szögei fokban mérve egész számok; mivel e szögek egyike legalább $178^{\circ}$ , a másik kettő pedig legalább $1^{\circ}$ - $1^{\circ}$ , így valamennyi egyenlőtlenségben az egyenlőség teljesül:

\begin{matrix} \begin{matrix} C A B ∢ = C B A ∢ = 74^{\circ} (és ígyA C B ∢ = 32^{\circ}), \\ Q P B ∢ = 178^{\circ} és P B Q ∢ = P Q B ∢ = 1^{\circ} . \end{matrix} \end{matrix}