Kezdőlap


Feladat:	C.521	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hablicsek Márton
Füzet:	1999/szeptember, 345. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímtényezős felbontás, Logikai feladatok, Kombinatorikai leszámolási problémák, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/december: C.521

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $n$ darab kétforintosunk van, akkor a bal zsebünkbe 0, 1, $...$ , $n$ darab kerülhet, így a kétforintosokat $(n + 1)$ -féleképpen oszthatjuk el a két zsebünkben. Az egyes címletek szétosztása pedig független egymástól, így a hét címlet szétosztására

\begin{matrix} (c_{2} + 1) (c_{5} + 1) (c_{10} + 1) (c_{20} + 1) (c_{50} + 1) (c_{100} + 1) (c_{200} + 1) \end{matrix}

(1)

eset lehetséges, ahol

c_{2}

c_{5}

...

c_{200}

rendre a 2, 5,

...

, 200 forintosok száma. A feltétel szerint minden címlet elő is fordul, így 1512-nek ebben a felbontásában mind a hét tényező nagyobb 1-nél.
Másfelől

1512 = 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 7

éppen hét darab prímszám szorzata, így az (1) szorzat éppen az 1512 prímtényezős felbontása. A

c_{2}

c_{5}

c_{10}

c_{20}

c_{50}

c_{100}

c_{200}

számok éppen a prímtényezőknél 1-gyel kisebb 1, 1, 1, 2, 2, 2, 6 számok valamilyen sorrendben. Ebből pedig már maguk a

c

számok is megkaphatók.
Ha

c_{200} \neq 6

, akkor az elkészíthető legnagyobb összeg

\begin{matrix} 6 \cdot 100 + 2 \cdot 200 + 2 \cdot 50 + 2 \cdot 20 + 1 \cdot 10 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 2 = 1168, \end{matrix}

túl kicsi. Így 6 darab 200-asunk van, a megmaradt összeg pedig 312. Ebben az összegben 2-től 100-ig minden címlet előfordul ‐ közülük három 2-szer ‐, ezért minden címletből egyet elvéve három címletből marad egy-egy, és ezek összege

\begin{matrix} 312 - (100 + 50 + 20 + 10 + 5 + 2) = 125. \end{matrix}

Látható, hogy 125 csak

(100 + 20 + 5)

-ként áll elő a megadott hat számból készített háromtagú összegként, és így a megoldás:

\begin{matrix} c_{1} = 1, c_{5} = 2, c_{10} = 1, c_{20} = 2, c_{50} = 1, c_{100} = 2, c_{200} = 6. \end{matrix}

Valóban,

6 \cdot 200 + 2 \cdot 100 + 1 \cdot 50 + 2 \cdot 20 + 1 \cdot 10 + 2 \cdot 5 + 1 \cdot 2 = 1512

Hablicsek Márton (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 7. o.t.) dolgozata alapján