Tekintsünk egy $N$ elemű $H$ ponthalmazt, amely megfelel a feladatban szereplő feltételeknek. Tegyük fel, hogy $H$ konvex burkának $n$ csúcsa van. Ezt a konvex $n$-szöget egy csúcsából kiinduló átlói segítségével $n-2$ háromszögre bonthatjuk, amelyek mindegyikében $H$-nak pontosan egy pontja helyezkedik el, a második feltétel értelmében. Egy ilyen háromszög határára ‐ az első feltétel miatt ‐ $H$-nak nem eshet más pontja, mint a szóban forgó háromszög 3 csúcsa. A $H$ halmaz tehát pontosan a konvex burkának a csúcspontjaiból és az előbb említett $n-2$ pontból áll. Ennek következtében $N=2n-2=2\left(n-1\right)$, azaz páros szám.
A következőkben megmutatjuk, hogy minden 3-nál nagyobb $N$ páros szám esetén megadható a síkon $N$ pont a követelményeknek megfelelően. Legyen $n=\frac{N+2}{2}$, ekkor $n\ge 3$. Tekintsünk egy tetszőleges $P_0{P}_1\text{...}{P}_{n-1}$ konvex $n$-szöget. Ennek a belsejében vegyünk fel $n-2$ további pontot a következőképpen. Minden $1\le i\le n-2$ esetén legyen $Q_i$ a $P_0{P}_i{P}_{n-1}$ és $P_{i-1}{P}_i{P}_{i+1}$ háromszögek közös részének tetszőleges belső pontja. Azt állítjuk, hogy a $H=\left\{P_0\mathrm{,}{P}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{P}_{n-1}\mathrm{,}{Q}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{Q}_{n-1}\right\}$ ponthalmaz megfelel a feltételeknek.
Legyen $0\le i<j<k\le n-1$. Azt állítjuk, hogy a $P_i{P}_j{P}_k$ háromszög belseje $H$ pontjai közül egyedül a $Q_j$ pontot tartalmazza. Először azt mutatjuk meg, hogy $Q_j$ valóban a $P_i{P}_j{P}_k$ háromszög belső pontja. A $P_i{P}_j{P}_k$ szögtartomány tartalmazza a $P_0$, $P_j$, $P_{n-1}$ pontokat, és így a $P_0{P}_j{P}_{n-1}$ háromszög minden pontját is. Minthogy $Q_j$ ennek a háromszögnek belső pontja, $Q_j$ a $P_i{P}_j{P}_k$ szögtartomány belsejében van (1. ábra).
Hasonlóképpen látható, hogy $Q_j$ a $P_i{P}_k$ egyenesre támaszkodó, $P_j$-t tartalmazó félsík belsejében található, hiszen ez a félsík tartalmazza a $P_{j-1}$, $P_j$, $P_{j+1}$ pontokat, és $Q_j$ a $P_{j-1}{P}_j{P}_{j+1}$ háromszög belső pontja (2. ábra).
A $Q_j$ pont tehát az 1. ábrán látható nyílt szögtartomány és a 2. ábrán látható nyílt félsík közös részében van, ez pedig éppen a $P_i{P}_j{P}_k$ háromszög belső pontjainak halmaza. Most megmutatjuk, hogy ez a halmaz $H$ pontjai közül a $Q_j$-n kívül egyetlen pontot sem tartalmaz. A $P_0{P}_1\text{...}{P}_{n-1}$ sokszög konvex, ezért egyik csúcsa sem eshet a $P_i{P}_j{P}_k$ háromszög belsejébe. Tekintsük most valamelyik $Q_l$ pontot, ahol $l\ne j$. Ez a pont a $P_{l-1}{P}_l{P}_{l+1}$ háromszög belsejében helyezkedik el. Ha $l<i$, akkor a $P_0{P}_i$ egyenes elválasztja ezt a háromszöget a $P_i{P}_j{P}_k$ háromszögtől, tehát $Q_l$ valóban nem eshet az utóbbi háromszög belsejébe. Az $i<l<j$, $j<l<k$, illetve $k<l$ esetekben a megfelelő elválasztó egyenesek rendre a $P_i{P}_j$, $P_j{P}_k$ és $P_k{P}_{n-1}$ egyenesek. A 3. ábra az $l=j-1$ esetet szemlélteti. Ezzel állításunkat bizonyítottuk.
Hátravan még annak igazolása, hogy $H$ pontjai közül semelyik három nem esik egy egyenesre. A konstrukcióból azonnal következik, hogy semelyik $P_i{P}_j$ egyenes nem illeszkedhet $H$-nak egyetlen további pontjára sem. Ha tehát egy egyenes $H$ pontjai közül hármat is tartalmazna, akkor tartalmaznia kellene legalább két $Q$ típusú pontot. Legyenek ezek $Q_s$ és $Q_t$. A $Q_s{Q}_t$ egyenes a $P_0{P}_1\text{...}{P}_{n-1}$ sokszög kerületét két pontban metszi, jelöljük ezeket $U$-val és $V$-vel. Ha ezek közül az egyik, mondjuk $U$ a sokszög $P_i$ csúcsa volna, akkor $V$ szükségképpen a sokszög valamely $P_j{P}_k$ oldalának belső pontja lenne. Ekkor a $P_i{P}_j{P}_k$ háromszög a $Q_s$ és a $Q_t$ pontokat is tartalmazná, fenti állításunkkal ellentétben. Ha pedig $U$ és $V$ rendre a sokszög $P_i{P}_j$ és $P_k{P}_l$ oldalainak lenne belső pontja (feltehető, hogy $P_i$, $P_j$, $P_k$ és $P_l$ ilyen sorrendben, egy konvex négyszög csúcsai), akkor $H$-nak összes pontja, amely a $Q_s{Q}_t$ egyenesre illeszkedik, a $P_i{P}_j{P}_k{P}_l$ négyszög belsejébe esne. Ez azonban lehetetlen, hiszen a fenti állításból könnyen levezethető, hogy ez a négyszög $H$-nak pontosan két pontját tartalmazza.
Ezzel a feladat megoldását befejeztük.