A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Először olyan polinomot mutatunk, amely az egymástól különböző , , , helyeken rendre az egymástól nem feltétlenül különböző , , , értékeket veszi fel. Ehhez tekintsük , 2, , esetén a következő polinomot: | | Világos, hogy és , ha . Ezért a összefüggéssel definiált polinom, az ún. Lagrange-féle interpolációs polinom, megfelelő lesz. Könnyen látható, hogy ezen polinom fokszáma legfeljebb . Azonban még akkor sem lesz mindig egész együtthatós, ha , , és , , egész számok. Legyen most , , , . Milyen , , egész értékek mellett tudunk egyszerűen következtetni arra, hogy a polinom együtthatói egész számok? A polinom minden együtthatója olyan racionális szám, amelynek a nevezője valamilyen indexre | | alakú, számlálója pedig ugyanekkor -vel osztható egész szám. Könnyen látható, hogy az így adódó nevezők mindegyike osztója az számnak. Ha tehát a értékek mindegyike osztható -nel, akkor a fenti konstrukcióval létrehozott polinom egész együtthatós lesz. Az általunk keresett polinomnak azonban az előírt helyeken 2-hatvány értékeket kell felvennie, azok pedig nem oszthatók -nel, ha . Hogyan lehet ezen segíteni? Válasszunk ki darab különböző 2-hatványt, ami ugyanannyi ‐ mondjuk ‐ maradékot ad -nel osztva. Ezt megtehetjük, hiszen végtelen sok különböző 2-hatvány van. Legyenek ezek , , , , és tekintsük a () számokat. Ezekre igaz, hogy osztható -nel, létezik tehát olyan egész együtthatós polinom, amelyre minden 1 és közé eső egész számra. Ennek a polinomnak konstans tagját -mel megnövelve olyan, továbbra is egész együtthatós polinomhoz jutunk, amelyre . Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
Megjegyzések. 1. A megoldásból kitűnik, hogy különböző 2-hatványok helyett különböző 3-hatványokat vagy éppen különböző prímszámokat is előírhattunk volna a keresett polinom 1, 2, , helyen felvett értékeiként. Sőt, még ennél is tovább mehetünk. Mivel | | egész szám, az , , , alappontokra épített Lagrange-féle interpolációs polinom együtthatói már akkor is egész számok, ha minden osztható -sal. A skatulya-elv szerint szám között mindig található olyan, amelyik -sal osztva ugyanolyan maradékot ad. Megfogalmazhatjuk tehát a következő, a feladatban szereplőnél erősebb állítást. Legyen egy legalább elemű egész számokból álló halmaz. Ekkor létezik olyan, legfeljebb -ed fokú egész együtthatós polinom, amelynek az 1, 2, , helyeken felvett értékei a különböző elemei.
|