A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy létezik a feladat követelményeinek eleget tevő sorozat. Legyen ugyanis , , , a prímszámok (végtelen) növekvő sorozata, és tekintsük az , , () sorozatot. Ebben a sorozatban páratlan szám, ha , így nem osztható sem -gyel, sem -vel, hiszen azok páros számok. Az is világos, hogy és közül egyik sem osztója a másiknak. Ha pedig , akkor osztója -nek, de nem osztója a sorozat egyetlen további tagjainak sem, tehát nem lehet osztója a sorozat egy másik elemének. Az első feltétel tehát teljesül. A sorozatban bármely két számnak van 1-nél nagyobb közös osztója. Valóban: és esetén ez a szám 2; és esetén 3, ha , végül ha , , akkor és is osztható 5-tel. Tehát a második feltétel is teljesül. Végezetül, ha egy pozitív egész osztója a sorozat minden elemének, akkor osztója -nek és -nak is, és így csak 1 vagy 2 lehet. A második lehetőség azonban könnyen kizárható, hiszen páratlan szám. Ezzel igazoltuk, hogy a sorozat a harmadik feltételt is kielégíti.
Megjegyzések. 1. A fenti sorozatban a második tagtól kezdve minden elem osztható 5-tel. Olyan sorozat is megadható, amelyben a sorozat elemeinek semelyik tagtól kezdve nem létezik 1-nél nagyobb közös osztója. Ilyen sorozat például az , , () összefüggésekkel definiálható. Az is világos azonban, hogy bármely, a feladat feltételeinek eleget tevő sorozatban lesz végtelen sok elem, amelynek van 1-nél nagyobb közös osztója. (Miért?) 2. A sorozat konstrukciójánál mindenképpen szükség van végtelen sok különböző prímszám segítségére. Nem lehet ugyanis megadni véges sok prímszámot úgy, hogy legyen olyan pozitív egészekből álló végtelen sorozat, amelyben egyik szám sem osztója egyetlen másiknak sem, és amelyben minden szám összes prímosztója az adott prímszámok közül való. Feladat. Bizonyítsuk be a fenti állítást.
|