Megmutatjuk, hogy létezik a feladat követelményeinek eleget tevő sorozat. Legyen ugyanis $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3$, $\text{...}$ a prímszámok (végtelen) növekvő sorozata, és tekintsük az $a_1=6$, $a_2=10$, $a_n=15\cdot p_{n+1}$ ($n\ge 3$) sorozatot.
Ebben a sorozatban $a_n$ páratlan szám, ha $n\ge 3$, így nem osztható sem $a_1$-gyel, sem $a_2$-vel, hiszen azok páros számok. Az is világos, hogy $a_1$ és $a_2$ közül egyik sem osztója a másiknak. Ha pedig $n\ge 3$, akkor $p_{n+1}$ osztója $a_n$-nek, de nem osztója a sorozat egyetlen további tagjainak sem, tehát $a_n$ nem lehet osztója a sorozat egy másik elemének. Az első feltétel tehát teljesül.
A sorozatban bármely két számnak van 1-nél nagyobb közös osztója. Valóban: $a_1$ és $a_2$ esetén ez a szám 2; $a_1$ és $a_n$ esetén 3, ha $n\ge 3$, végül ha $n$, $m\ge 2$, akkor $a_n$ és $a_m$ is osztható 5-tel. Tehát a második feltétel is teljesül.
Végezetül, ha egy pozitív egész osztója a sorozat minden elemének, akkor osztója $a_1$-nek és $a_2$-nak is, és így csak 1 vagy 2 lehet. A második lehetőség azonban könnyen kizárható, hiszen $a_3$ páratlan szám. Ezzel igazoltuk, hogy a sorozat a harmadik feltételt is kielégíti.