A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. \def
Megoldás. Felhasználjuk az N. 190. feladatban igazolt segédtételeket. A megoldás azon múlik, hogy a (3) egyenlőtlenségben egyenlőség áll, ha a , , , számok váltakozó előjelűek. IV. segédtétel. Tetszőleges számokra Bizonyítás. Legyen , ekkor , és | | Ezt átrendezve éppen (4)-et kapjuk. Legyen , , és ismét Legyen továbbá , 1, , esetén . A polinom definíciója alapján | | vagyis ezek azok a számok, ahol értéke vagy . Jelöljük minden , 1, , esetén az -hez legközelebbi egész számot -vel. V. segédtétel. A , , , számokra teljesülnek a következő egyenlőtlenségek: * | 3. ha páratlan. | Bizonyítás. Az , , , számok definíciójából látható, hogy ; ebből következik, hogy Tetszőleges , 1, , esetén legyen az a szám, amelyre . A IV. segédtétel alapján | | (6) | | |
Mivel | | és (6) alapján | | a 2. és a 3. egyenlőtlenségek teljesülnek. Mivel a , , , sorozat váltakozó előjelű, (5)-ben sehol sem állhat egyenlőség, vagyis az 1. egyenlőtlenséglánc is igaz. VI. segédtétel. . Bizonyítás. A III. segédtétel 3. pontjához hasonlóan felhasználjuk, hogy | | Ebből azonnal következik, hogy pozitív. Mivel tetszőleges esetén | |
Mivel , ebből következik, hogy | |
Ezek után rátérhetünk a polinom konstrukciójára. Legyenek azok az és közötti egészek, amelyek nem szerepelnek a , , , számok között, és legyen | | (7) |
Tetszőleges esetén a polinomnak a intervallumban pontosan darab gyöke van, ezért és azonos előjelű, ha és paritása ellentétes, és fordítva. Mivel pedig és ellentétes előjelűek, és pontosan akkor azonos előjelű, ha és paritása megegyezik. Mivel és pozitívak, ebből egyszerűen következik, hogy páratlan esetén nemnegatív, páros esetén pedig nempozitív. Írjuk fel (1)-et a polinomra (ezt megtehetjük, mert foka ) az választással, és rendezzük át a következőképpen: | | (8) | A és polinomok definíciója alapján és , az előbbi megfontolások szerint pedig a jobb oldalon valamennyi tag nemnegatív, ezért (8)-at a következő formában is írhatjuk: | | A jobb oldalon minden olyan esetben, amikor ; ezt és a VI. segédtételt figyelembe véve | |
|
|