Kezdőlap


Feladat:	F.3250	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ábrány Miklós , Bárány Zsófi , Csirmaz Előd , Csiszár Gábor , Csóka Endre , Dénes Attila , Fehér Lajos Károly , Gajári Dávid , Gáspár Merse Előd , Gelencsér Gábor , Gerencsér Balázs , Győri Nikolett , Gömöri Péter , Harangi Viktor , Herczegh Géza , Horváth György , Keszegh Balázs , Kiss Gergely , Kiss Norbert , Kovács Benedek , Kunszenti-Kovács Dávid , Lábó Eszter , Lábó Melinda , Máthé András , Molnár László Milán , Naszódi Gergely , Pálvölgyi Dömötör , Pap Júlia , Papp Dávid , Pataki Péter , Pozsár Balázs , Szabadka Zoltán , Szabó Péter , Székelyhidi Gábor , Ta Vinh Thong , Terpai Tamás , Vágvölgyi Péter , Zábrádi Gergely
Füzet:	1999/május, 287 - 288. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyed- és magasabb fokú függvények, Valós együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/november: F.3250

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltétel alapján $f (x^{2}) = 2 x \cdot f (x)$ . Tehát

\begin{matrix} f (x^{3}) = f (x \cdot x^{2}) = x \cdot f (x) + x^{2} \cdot f (x^{2}) = x \cdot f (x) + 2 x^{3} \cdot f (x) = (2 x^{3} + x) \cdot f (x) . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} \begin{matrix} f (x^{4}) & = f (x \cdot x^{3}) = x \cdot f (x) + x^{3} \cdot f (x^{3}) = x \cdot f (x) + (2 x^{6} + x^{4}) f (x) = \\ = (2 x^{6} + x^{4} + x) f (x), \end{matrix} \end{matrix}

ugyanakkor

\begin{matrix} f (x^{4}) = f (x^{2} \cdot x^{2}) = 2 x^{2} \cdot f (x^{2}) = 4 x^{3} \cdot f (x) . \end{matrix}

Tehát

4 x^{3} \cdot f (x) = (2 x^{6} + x^{4} + x) \cdot f (x)

teljesül minden 0 és 1 közötti

x

-re.
Ez vagy úgy teljesül, ha

f (x) = 0

, vagy ha

4 x^{3} = 2 x^{6} + x^{4} + x

, aminek nyilván legfeljebb 6 megoldása lehet. Tehát véges sok kivétellel

f (x) = 0

.
Megmutatjuk, hogy

f (x)

egyáltalán nem vehet föl a 0-tól különböző értéket. Tegyük fel, hogy ez nem igaz, van olyan

x \in (0, 1)

, amelyre

f (x) \neq 0

. Ekkor

x^{2} \in (0, 1)

x^{2} < x

és

f (x^{2}) = x \cdot f (x)

, tehát ha

f (x)

nem 0, akkor

f (x^{2})

sem az.
Ezt folytatva kapjuk az

x_{1} = x > x_{2} = x_{1}^{2} > x_{3} = x_{2}^{2} > ...

0 és 1 közé eső számok végtelen sorozatát úgy, hogy minden

i

-re

f (x_{i}) \neq 0

.
Láttuk viszont, hogy legfeljebb 6 ilyen szám létezhet, így az

f (x) \neq 0

feltételezés ellentmondásra vezet.
A feladat egyetlen megoldása tehát az azonosan 0 függvény.

Pap Júlia (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 12. o.t.)