Kezdőlap


Feladat:	F.3246	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lovrics Anna , Pataki Péter , Szép László , Tran Thanh Long
Füzet:	1999/május, 287. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rekurzív sorozatok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/október: F.3246

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Átrendezve az $x_{k + 1} = x_{k} - x_{k}^{2}$ egyenletet, azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} x_{k}^{2} = x_{k} - x_{k + 1} . \end{matrix}

Ezt

k = 1

, 2,

...

n

-re felírva és az egyenlőségeket összeadva:

\begin{matrix} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{n}^{2} = x_{1} - x_{n + 1} . \end{matrix}

Így elég azt belátni, hogy minden

m

-re

x_{m} > 0

. Ez teljes indukcióval történhet;

0 < x_{1} < 1

a feladat feltétele alapján. Ha

0 < x_{m} < 1

, akkor

0 < x_{m + 1} < 1

is teljesül, mert

x_{m + 1} = x_{m} - x_{m}^{2} = x_{m} (1 - x_{m})

.
Ezzel a feladat állítását beláttuk.