Kezdőlap


Feladat:	F.3226	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bárány Kristóf , Csornai Gyula , Dancsó Zsuzsanna , Devecsery Ágnes , Devecsery András , Fehér Lajos Károly , Gáspár Merse Előd , Győri Nikolett , Hangya Balázs , Harangi Viktor , Horváth György , Juhász András , Keszegh Balázs , Kiss Norbert , Kutalik Péter , Lovas Róbert , Máthé András , Pap Júlia , Pogány Ádám , Rácz Balázs , Robotka Zsolt , Samu Alex , Szabadka Zoltán , Székelyhidi Gábor , Terpai Tamás , Tisch Dávid , Tóth Ágnes , Vágvölgyi Péter , Végh A. László , Zombori Tamás
Füzet:	1999/május, 283 - 284. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Esetvizsgálat, Kombinatorikai leszámolási problémák, Logikai feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/április: F.3226

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábra ágain a körök színei a következők lehetnek (s: sárga, k: kék) belülről kifelé haladva:

\begin{matrix} \begin{matrix} {s, & s, & k, & k}; & {s, & k, & s, & k}; & {s, & k, & k, & s}; \\ {k, & k, & s, & s}; & {k, & s, & k, & s}; & {k, & s, & s, & k} . \end{matrix} \end{matrix}

Egy-egy ágnak tehát hatféle színezése lehet.
I. eset: minden ágat ugyanolyan módon színezünk.
Ezt hatféleképpen tehetjük meg.
II. eset: a négy ágban kétféle színezésű ág van. Ezt háromféleképpen tehetjük meg.
i) Mivel

x

és

y

különböző színezések, azért ebben a részesetben

6 \cdot 5 = 30

különféle színezés van.
ii)

x

-t és

y

-t a 6 különböző színezésből

(\binom{6}{2})

-féleképpen választhatjuk ki. Így a lehetőségek száma 15.
iii) Akárcsak az előbb, most is 15 különböző eset van.
III. eset: a négy ágban háromféle színezésű ág van.
Ez kétféleképpen lehetséges:
i) Itt

x

6-féle lehet,

y

és

z

pedig ezek után

(\binom{5}{2})

-féle. Ilyenkor

6 \cdot (\binom{5}{2}) = 60

különböző színezés van.
ii) Az előzőhöz hasonlóan kaphatjuk, hogy most is 60-féle színezés van.
IV. eset: a négy ág mindegyike különböző színezésű. Adott négy ágszínezési minta,

{a, b, c, d}

esetén ez háromféleképpen lehetséges.

ii)

iii)

Mindegyik részben

(\binom{6}{4}) = 15

különböző ágminta-négyes van. Összesen tehát 45 lehetőséget kapunk.
Összefoglalva:

6 + 30 + 15 + 15 + 60 + 60 + 45 = 231

a feltételek szerinti értelemben különböző színezések száma.

Pap Júlia (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 11. o.t.)