Kezdőlap


Feladat:	Gy.3238	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus Gergely , Erdei Zsuzsa , Harangi Viktor , Nagy Zoltán
Füzet:	1999/május, 281 - 282. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Exponenciális egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/december: Gy.3238

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy dobókockával hatféle számot dobhatunk, $n$ dobókocka esetén ez $6^{n}$ lehetőség. Ezek közül $n \cdot 5^{n - 1}$ esetben lesz pontosan egy hatos dobás, ugyanis ez az $n$ kocka bármelyikén lehet, a többi $n - 1$ kockán pedig egymástól függetlenül 5 másik szám fordulhat elő. A pontosan egy hatos dobásának a valószínűsége tehát

\begin{matrix} V_{n} = \frac{n \cdot 5^{n - 1}}{6^{n}} . \end{matrix}

Az a kérdés, hogy ez milyen

n

-re lesz a legnagyobb. Látható, hogy

V_{1} = \frac{1}{6}

V_{2} = \frac{10}{36}

V_{3} = \frac{3 \cdot 25}{6 \cdot 36} = \frac{25}{72}

, azaz

V_{1} < V_{2} < V_{3}

.
Nézzük meg, igaz-e általában, hogy

V_{n} < V_{n + 1}

\begin{matrix} \frac{n \cdot 5^{n - 1}}{6^{n}} <_{}^{?} \frac{(n + 1) \cdot 5^{n}}{6^{n + 1}} . \end{matrix}

\frac{5^{n - 1}}{6^{n}}

-nel egyszerűsítve és rendezve

\begin{matrix} 6^{n} <_{}^{?} 5 n + 5, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} n <_{}^{?} 5. \end{matrix}

Tehát

V_{n} < V_{n + 1}

csak

n < 5

esetén igaz.
Ha

n = 5

, akkor

V_{n} = V_{n + 1}

, vagyis

V_{5} = V_{6}

, ha pedig

n > 5

, akkor

V_{n} > V_{n + 1}

. (Ezután a

V_{n}

valószínűség csökken). Ezért a vizsgált valószínűség 5 és 6 dobókocka esetén lesz egyformán a legnagyobb, mégpedig

{(\frac{5}{6})}^{5} \approx 0,4

(ami tulajdonképpen meglepően nagy).

Ambrus Gergely (Szeged, Radnóti M. Kísérl. Gimn., 10. o.t.) dolgozata alapján