$a)$ Egy sík akkor metszi a kockát ötszögben, ha pontosan 5 lapot metsz. A metszett lapok között biztosan van két párhuzamos, ezért a metszetnek is lesz két párhuzamos oldala. Szabályos ötszög metszet emiatt nem lehetséges.
$b)$ Az ábrán $A$ és $B$ a kocka két átellenes csúcsa, a $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ pedig az $A$-ra és $B$-re nem illeszkedő élek felezőpontjai. Ezek a felezőpontok egy síkban vannak, mert $A$-tól és $B$-től való távolságuk egyaránt $\sqrt[]{a^2+\frac{a^2}{4}}$. Az $AB$ szakasz felező merőleges síkja tehát a kockát hatszögben metszi. A hatszög egyenlő oldalú, mert minden oldala egy lapátló fele. Tekintve, hogy pl. $FC$ átmegy a kocka $O$ középpontján, és az $FO=OC$ távolságok ugyancsak fél lapátló nagyságúak, a hatszög köré kör írható. Ebből következik, hogy a hatszög szögei egyenlők, így a hatszög szabályos.
A $b)$ kérdésre igenlő választ adhatunk.