Kezdőlap


Feladat:	Gy.3236	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus Gergely
Füzet:	1999/május, 280 - 281. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Trigonometrikus függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/november: Gy.3236

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $T_{a} T_{b} T_{c}$ háromszöget talpponti háromszögnek nevezzük. Ennek kerülete

\begin{matrix} a \cdot cos α + b \cdot cos β + c \cdot cos γ, \end{matrix}

(1)

aminek igazolása megtalálható például Reiman István: A geometria és határterületei c. könyve 241. oldalán. Az ábra derékszögű háromszögeiből

T_{a} C = b . cos γ

T_{b} A = c \cdot cos α

és

T_{c} B = a \cdot cos β

. A feladatban említett szakaszok összege tehát

\begin{matrix} a \cdot c o s β + b \cdot cos γ + c \cdot cos α . \end{matrix}

(2)

Az (1) és (2) összehasonlításához felhasználjuk az úgynevezett rendezési tételt. Legyenek

a

b

c

és

x

y

z

valós számok, és nézzük az

\begin{matrix} a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z \end{matrix}

(3)

összeget. Ha ebben az összegben az

x

y

z

számokat más sorrendben írjuk, az összeg megváltozik. Legyen pl.

a \leq b \leq c

és

x \geq y \geq z

. Ekkor azt mondjuk, hogy

a

b

c

és

x

y

z

ellentétesen rendezettek. A rendezési tétel azt mondja ki, hogy (3) akkor a legkisebb, ha a két számhármas ellentétesen rendezett, és akkor a legnagyobb, ha a két számhármas rendezése azonos.
Visszatérve az eredeti feladathoz, megtehetjük, hogy az oldalak jelölését úgy választjuk meg, hogy

a \leq b \leq c

legyen. A háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, nagyobb hegyesszög koszinusza pedig kisebb, mint a kisebb szögeké. Ezért

a

b

c

és

cos α

cos β

cos γ

ellentétesen rendezettek, tehát az (1) összeg nem nagyobb, mint a (2)-ben lévő.
Ezzel a feladat állítását igazoltuk. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha

a = b = c

Ambrus Gergely (Szeged, Radnóti M. Gimn., 10. o.t.)

Megjegyzések. 1. Vegyünk fel egy hegyesszögű háromszög mindegyik oldalán egy belső pontot. A 3 pont egy beírt háromszöget határoz meg. Ismert szélsőérték-feladat, hogy ezek közül a háromszögek közül a talpponti háromszög a legkisebb kerületű. Ennek a ténynek és sok érdekes következményének a bizonyítása megtalálható a korábban idézett mű 240‐242. oldalán.
2. A rendezési tétel egy általánosabb megfogalmazását és igazolását megtalálhatjuk Reiman István: Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák 1959‐1994 c. könyve 552. oldalán.