Kezdőlap


Feladat:	Gy.3222	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Somogyi Tamás , Szilágyi Tamás , Tran Thanh Long
Füzet:	1999/május, 278 - 279. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/október: Gy.3222

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az $A$ és a $B$ számjegyei sorban: $a_{8}, a_{7}, a_{6}, a_{5}, a_{4}, a_{3}, a_{2}, a_{1}, a_{0}$ , illetve $b_{8}, b_{7}, ..., b_{1}, b_{0}$ .

\begin{matrix} A = \bar{a_{8} a_{7} ... a_{1} a_{0}}; B = \bar{b_{8} b_{7} ... b_{1} b_{0}} . \end{matrix}

A

első, második stb. számjegyét kicseréljük a

B

megfelelő helyiértékén álló jegyével, 9 számot kapunk:

\begin{matrix} \begin{matrix} A_{8} & = \bar{b_{8} a_{7} ... a_{1} a_{0}}; 7 ∣ A_{8} \\ A_{7} & = \bar{a_{8} b_{7} ... a_{1} a_{0}}; 7 ∣ A_{7} \\ ⋮ \\ A_{1} & = \bar{a_{8} a_{7} ... b_{1} a_{0}}; 7 ∣ A_{1} \\ A_{0} & = \bar{a_{8} a_{7} ... a_{1} b_{0}}; 7 ∣ A_{0} \end{matrix} \end{matrix}

Adjuk össze ezeket a számokat:

\begin{matrix} 7 ∣ A_{8} + A_{7} + ... + A_{1} + A_{0} = 8 A + B . \end{matrix}

Mivel

7 ∣ 7 A

, így

7 ∣ (8 A + B) - 7 A = A + B

. Ekkor azonban

7 ∣ A + B + A_{i}

(

i = 0

, 1,

...

, 8) is fennáll.

\begin{matrix} \begin{matrix} A + B - A_{8} = B_{8} & = \bar{a_{8} b_{7} ... b_{1} b_{0}}; \\ A + B - A_{7} = B_{7} & = \bar{b_{8} a_{7} ... b_{1} b_{0}}; \\ ⋮ \\ A + B - A_{1} = B_{1} & = \bar{b_{8} b_{7} ... a_{1} b_{0}}; \\ A + B - A_{8} = B_{0} & = \bar{b_{8} b_{7} ... b_{1} a_{0}} . \end{matrix} \end{matrix}

B_{0}

B_{1}

...

B_{7}

B_{8}

éppen azok a számok, amelyeket akkor kapunk, ha

B

megfelelő jegyét kicseréljük

A

-éra. Ezek a számok pedig a fentiek szerint valóban oszthatók 7-tel.

Megjegyzés. A feladat állítása akkor is igaz, ha

n

-jegyű számokra és

(n - 2)

-vel való oszthatóságra mondjuk ki. A bizonyítás teljesen hasonló.

Somogyi 555 Tamás (Budapest, Szent István Gimn., 10. o.t.) és

Szilágyi Tamás (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., 10. o.t.) dolgozatai alapján