Feladat:	C.519	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csató György ,  Kovács Péter
Füzet:	1999/május, 277 - 278. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Körök, Négyzetek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/november: C.519

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A kör és a négyzet tengelyes szimmetriája miatt az érintési pontban az érintőre állított merőleges egyenes mindkét idomnak szimmetriatengelye (1. ábra). A kör $O$ középpontja rajta van a szimmetriatengelyen. A négyzet $AB$ oldala a körnek húrja. Legyen $AB=2d$, az $AB$ oldal távolsága a kör középpontjától $x$. Az $OFB$ derékszögű háromszögből: $d=\sqrt[]{1-x^2}$, $AB=BC$ miatt $2d=1+x$. Innen $5x^2+2x-3=0$ és $x=\frac{3}{5}$ (csak a pozitív gyököt kell figyelembe vennünk). A négyzet oldala pedig $\frac{8}{5}$ egység. A feladatnak egyetlen megoldása van, amit könnyen meg tudunk szerkeszteni.  Kovács Péter (Tatabánya, Árpád Gimn., 9. o.t.)   II. megoldás. A keresett négyzet megszerkeszthető számolás nélkül is. Vegyünk fel a körön egy tetszőleges $E$ pontot, és szerkesszünk az $E$ pontban érintőt a körhöz. A kör $O$ középpontján és az $E$ érintési ponton át húzunk egy egyenest (2. ábra). Rajzoljunk ezután egy olyan négyzetet, amelynek az $EO$ egyenes szimmetriatengelye és két szomszédos csúcsa az érintőn van: legyen ez az $ABCD$. Ezt a négyzetet nagyítsuk (vagy kicsinyítsük) az $E$ középpontból úgy, hogy az $A$ és $B$ csúcs a körre kerüljön. Az $A\text{'}$ pont az $EA$ egyenes és a kör metszéspontja, a $B\text{'}$ pont pedig az $EB$ egyenes és a kör metszéspontja. $A\text{'}B\text{'}$ lesz a keresett négyzet oldala. Az $ABCD$ és $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ idomok hasonlóságából következik, hogy $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ is négyzet, és eleget tesz a feltételnek. A feladatnak csak egy megoldása van (egy egyenes legfeljebb 2 pontban metszheti a kört, az egyik az $E$, a másik az $A\text{'}$, illetve $B\text{'}$). Meg kell még határoznunk a négyzet oldalának hosszát. Jelölje $x$ a négyzet oldalának felét, pl. $A\text{'}F\text{'}=x$. Ekkor $OF\text{'}=2x-1$, mert $OE=1$. $A\text{'}O=1$, mert sugár. Így az $A\text{'}F\text{'}O$ háromszögben felírva a Pitagorasz-tételt, azt kapjuk, hogy $1=x^2+{\left(2x-1\right)}^2$, ez pedig $5x^2-4x=0$ alakra hozható. Ebből $x=\frac{4}{5}$, ami a négyzet oldalának a fele, tehát a négyzet oldalának hossza $\frac{8}{5}$.  Csató György (Hajdúszoboszló, Hőgyes E. Gimn., 10. o.t.) megoldása alapján   Megjegyzés. Használjuk az 1. ábra jelöléseit. A feladat szerkesztési része úgy is megoldható, hogy a négyzetből indulunk ki, és ehhez szerkesztünk olyan kört, amely átmegy az $A$, a $B$, valamint az $E$ pontokon (alapszerkesztés). A kész ábrát akkorára kicsinyítjük vagy nagyítjuk, hogy a kör sugara egységnyi hosszúságú legyen. A négyzet oldalát ezután a második megoldás módszerét használva számíthatjuk ki.  Fried Katalin