Kezdőlap


Feladat:	N.192	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gyenes Zoltán , Juhász András , Lukács László , Pálvölgyi Dömötör , Pozsár Balázs , Szabó Péter , Terpai Tamás , Végh A. László , Zábrádi Gergely
Füzet:	1999/április, 231. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Részhalmazok, Halmazok számossága, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/december: N.192

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A válasz nemleges. Konstruálunk egy olyan halmazt, amely eleget tesz a feladat feltételeinek, ugyanakkor nem megszámlálható.
Tetszőleges $\bar{0, a_{1} a_{2} a_{3} ...}$ tizedestörthöz rendeljük hozzá a következő halmazt:

\begin{matrix} f (\bar{0, a_{1} a_{2} a_{3} ...}) = {\bar{1 a_{1}}, \bar{1 a_{1} a_{2}}, \bar{1 a_{1} a_{2} a_{3}}, \bar{1 a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}}, ...} . \end{matrix}

Ezzel minden 0 és 1 közötti valós számhoz hozzárendeltünk egy pozitív egész számokból álló halmazt. A halmaz elemei egyértelműen meghatározzák a tizedestörtet, ezért különböző számokhoz különböző halmazt rendeltünk.
Ha

a = \bar{0, a_{1} a_{2} a_{3} ...}

és

b = \bar{0, b_{1} b_{2} b_{3} ...}

két különböző szám, amelyek tizedestört alakja először az

n

-edik tizedesjegyben különbözik, akkor az

f (a)

és az

f (b)

halmazoknak az

1 a_{1}

1 a_{1} a_{2}

1 a_{1} a_{2} ..., a_{n - 1}

számok közös elemeik, a további elemek viszont különböznek az

(n + 1)

-edik jegyükben. Ezért az

f (a)

és

f (b)

halmazoknak csak véges sok, egészen pontosan

n - 1

közös eleme van.
Álljon most

H

az összes olyan halmazból, amely előáll

f (x)

alakban valamely

[0, 1)

intervallumbeli

x

valós számra. A fentiek szerint

H

bármely két elemének a metszete véges. Ugyanakkor az

f

függvény kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés a nem megszámlálható

[0, 1)

intervallum és

H

között, ezért a

H

maga sem megszámlálható.