|
Feladat: |
N.192 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Gyenes Zoltán , Juhász András , Lukács László , Pálvölgyi Dömötör , Pozsár Balázs , Szabó Péter , Terpai Tamás , Végh A. László , Zábrádi Gergely |
Füzet: |
1999/április,
231. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Részhalmazok, Halmazok számossága, Nehéz feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1998/december: N.192 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A válasz nemleges. Konstruálunk egy olyan halmazt, amely eleget tesz a feladat feltételeinek, ugyanakkor nem megszámlálható. Tetszőleges tizedestörthöz rendeljük hozzá a következő halmazt: | | Ezzel minden 0 és 1 közötti valós számhoz hozzárendeltünk egy pozitív egész számokból álló halmazt. A halmaz elemei egyértelműen meghatározzák a tizedestörtet, ezért különböző számokhoz különböző halmazt rendeltünk. Ha és két különböző szám, amelyek tizedestört alakja először az -edik tizedesjegyben különbözik, akkor az és az halmazoknak az , , számok közös elemeik, a további elemek viszont különböznek az -edik jegyükben. Ezért az és halmazoknak csak véges sok, egészen pontosan közös eleme van. Álljon most az összes olyan halmazból, amely előáll alakban valamely intervallumbeli valós számra. A fentiek szerint bármely két elemének a metszete véges. Ugyanakkor az függvény kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés a nem megszámlálható intervallum és között, ezért a maga sem megszámlálható. |
|