Kezdőlap


Feladat:	N.189	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ta Vinh Thong
Füzet:	1999/április, 230 - 231. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai egyenlőtlenségek, Számtani közép, Harmonikus közép, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/november: N.189

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először is megjegyezzük, hogy a jobb oldalon a 2 helyett nem írható kisebb szám. Ha ugyanis $a_{m} = \frac{1}{m}$ tetszőleges $m$ indexre, akkor

\begin{matrix} a_{1} = \frac{2}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}}} + ... + \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + ... + \frac{1}{a_{n}}} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{1 + 2 + ... + k} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{2}{k + 1}, \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} 2 \sum_{k = 1}^{n} a_{k} - \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{\frac{1}{a_{1}} + ... + \frac{1}{a_{k}}} = 2 \sum_{k = 1}^{2} \frac{1}{k} - \sum_{k = 1}^{n} \frac{2}{k + 1} = 2 - \frac{2}{n + 1} < 2. \end{matrix}

Ugyanakkor, mint ismeretes,

n

növelésével a

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}

összeg bármilyen nagy lehet.
Írjuk fel ezután a súlyozott harmonikus és számtani közepek közötti egyenlőséget az

a_{1}

2 a_{2}

3 a_{3}

...

k a_{k}

számokra az 1, 2,

...

k

súlyokkal:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1 + 2 + ... + k}{1 \cdot \frac{1}{a_{1}} + 2 \cdot \frac{1}{2 a_{2}} + ... + k \cdot \frac{1}{k a_{k}}} = \frac{\frac{k (k + 1)}{2}}{\frac{1}{a_{1}} + ... + \frac{1}{a_{k}}} \leq \\ \leq \frac{a_{1} + 2 \cdot 2 a_{2} + ... + k \cdot k a_{k}}{1 + 2 + ... + k} = \frac{1^{2} \cdot a_{1} + 2^{2} \cdot a_{2} + ... + k^{2} a_{k}}{\frac{k (k + 1)}{2}}, \end{matrix} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{k}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{k}}} \leq \frac{4}{k {(k + 1)}^{2}} (1^{2} \cdot a_{1} + 2^{2} \cdot a_{2} + ... + k^{2} \cdot a_{k}) . \end{matrix}

(1)

Ennek az egyenlőtlenségnek az a nagy előnye, hogy az

a_{m} = \frac{1}{m}

választás esetén egyenlőség áll.
Összeadva (1)-et a

k = 1

, 2,

...

n

értékekre, valamint felhasználva a beszorzással könnyen ellenőrizhető

\frac{4}{k {(k + 1)}^{2}} < \frac{2}{k^{2}} - \frac{2}{{(k + 1)}^{2}}

egyenlőtlenséget,

\begin{matrix} \begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{k}}} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{4}{k {(k + 1)}^{2}} \sum_{m = 1}^{k} m^{2} a_{m} = \\ = \sum_{m = 1}^{n} (\sum_{k = m}^{n} \frac{4}{k {(k + 1)}^{2}}) \cdot m^{2} a_{m} < \sum_{m = 1}^{n} (\sum_{k = m}^{\infty} (\frac{2}{k^{2}} - \frac{2}{{(k + 1)}^{2}})) \cdot m^{2} a_{m} = \\ = \sum_{m = 1}^{n} \frac{2}{m^{2}} \cdot m^{2} a_{m} = 2 (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}) . \end{matrix} \end{matrix}

Ezzel az állítást igazoltuk.